Pole elektryczne – JR

Pole elektryczne

20. Spis treści.

20.1 Pojęcia związane z polem elektrycznym.

20.2 Prawo Coulomba.

20.3 Wektor natężenia pola elektrycznego.

20.4 Energia potencjalna w polu elektrostatycznym ładunku punktowego.

20.5 Potencjał pola elektrostatycznego ładunku punktowego.

20.6 Układ ładunków punktowych. Dipol elektryczny.

20.7 Pojemność elektryczna przewodnika.

20.7.1 Pojemność elektryczna kondensatora kulistego.

20.7.2 Pojemność elektryczna kondensatora cylindrycznego.

20.7.3 Pojemność elektryczna kondensatora płaskiego.

 

 

20.1 Pojęcia związane z polem elektrycznym.

 

 

ładunek punktowy – ciało naładowane którego rozmiary można zaniedbać w porównaniu z odległościami tego ciała do innych ciał naładowanych elektrycznie.

 

 

20.2 Prawo Coulomba.

 

 

Prawo Coulomba można sforułować w następujący sposób:

 

Siła oddziaływania dwóch nieruchomych ładunków punktowych jest proporcjonalna do wartości każdego z tych ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.

 

Prawo to obrazuje poniższy rysunek:

oddziaływanie coulombowskie rysunek

oraz wzór wektorowy:

oddziaływanie coulombowskie wzór

gdzie:

ε0 – przenikalnośc elektryczna próżni

q1 , q2 – wielkości oddziałujących ładunków

r – odległośc między ładunkami

wektor jednostkowy wzór na siłę coulombowską

 

 

20.3. Wektor natężenia pola elektrycznego.

 

 

Wektor natężenia pola elektrycznego – jest to stosunek siły F działającej na ładunek próbny q0 umieszczony w polu do wartości tego ładunku:

definicja natężenia pola elektrycznego wzór

 

 

20.4. Energia potencjalna w polu elektrostatycznym ładunku punktowego.

 

 

Energię tę można określić jako pracę jaką wykonuje siła elektrostatyczna przy przesunięciu ładunku z danego punktu pola do niekończoności (tam gdzie pole elektryczne zanika).

energia potencjalna pola elektrostatycznego wzór

energia potencjalna pola elektrostatycznego wzór

energia potencjalna pola elektrostatycznego wzór

energia potencjalna pola elektrostatycznego wzór

 

 

20.5. Potencjał pola elektrostatycznego ładunku punktowego.

 

 

Potencjał elektrostatyczny V w danym punkcie pola jest liczbowo równy stosunkowi elektrostatycznej energii potencjalnej ładunku próbnego umieszczopnego w tym punkcie do wartości tego ładunku:

potencjał elektrostatyczny definicja wzór

 

 

20.6. Układ ładunków punktowych. Dipol elektryczny.

 

 

Pole elektryczne wytwarzane przez układy ładunków punktowych może być łatwo obliczone przez wektorowe dodawanie kulombowskich pól poszczególnych ładunków. Szczególną rolę wśród układów ładunków punktowych pełni dipol elektryczny tj. układ dwóch równych ładunków q o przeciwnych znakach, znajdujących się w stałej odległości wzajemnej l.

dipol elektryczny

Wyprowadźmy wzór na nateżenie pola elektrycznego na osi dipola:

wzór na natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego 1

Stosując wzór skróconegpo mnożenia otrzymujemy:

wzór na natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego 2

gdzie:

r+ – odległość punktu w którym wyznaczamy natężenie pola elektrycznego P od punktowego ładunku doatniego

r – odległość punktu w którym wyznaczamy natężenie pola elektrycznego P od punktowego ładunku ujemnego

Jeżeli założymy, że:

założenie

to wówczas:

przybliżenie 1

przybliżenie 2

Podstawiając powyższe wnioski do wzoru na E otrzymujemy:

przybliżony wzór na natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola

Powyższy wzór przybiera prostszą postać gdy wprowadzimy nową wielkość fizyczną:

elektryczny moment dipolowy

Wielkość ta nazywa się: elektrycznym momentem dipolowym.

A więc wzór na E jest następujący:

wzór na natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola

 

 

20.7. Pojemność elektryczna przewodnika.

 

 

Stosunek ładunku elektrycznego zgromadzonego na przewodniku do potencjału wytworzonego na tym przewodniku jest dla danego przewodnika stały i nosi nazwę pojemności elektrycznej przewodnika.

definicja pojemności elektrycznej przewodnika

Pojemność elektryczna przewodnika zależy od jego kształtu i rozmiarów. Jednostkę pojemności przyjęto nazywać faradem: 1 F jest to pojemność takiego przewodnika, na którym ładunek 1 C wytwarza napięcie 1 V. Pojemność 1 F jest pojemnością bardzo dużą i dlatego stosujemy jednostki mniejsze takie jak: μF, nF, pF.

 

 

20.7.1. Pojemność elektryczna kondensatora kulistego.

 

 

Kondensator kulisty traktujemy jako dwie współśrodkowe kule o promieniach ra i rb (ra< rb). Kulę wewnętrzną ładujemy ładunkiem ujemnym Q. Wtedy pole między powierzchniami kulistymi będzie równe:

natężenie pola elektrycznego pomiędzy powierzchniami kulistymi

Różnica potencjałów kuli zewnętrznej względem wewnętrznej z definicji jest równa:

zależność pomiędzy napięciem a natężeniem pola elektrycznego

Wyrazy stałe wyciągamy przed znak całki:

napięcie elektryczne pomiędzy powierzchniami kulistymi

Następnie dokonujemy całkowania:

napięcie elektryczne pomiędzy powierzchniami kulistymi

napięcie elektryczne pomiędzy powierzchniami kulistymi

lub w innej postaci:

napięcie elektryczne pomiędzy powierzchniami kulistymi

Pojemność kondensatora kulistego jest więc równa:

pojemność elektryczna kondensatora kulistego

Jeżeli teraz założymy, że:

promień zewnętrzny dąży do nieskończoności

to otrzymamy wzór na pojemność elektryczną odosobnionej kuli. W celu uzyskania tego wzoru podzielmy licznik i mianownik przez rb:

pojemność elektryczna kondensatora kulistego

Widzimy, że:

dąży do zera

Tak, więc pojemność elektryczna odosobnionej kuli wynosi:

pojemność elektryczna odosobnionej kuli

 

 

20.7.2. Pojemność elektryczna kondensatora cylindrycznego.

 

 

kondensator cylindryczny

W celu wyprowadzenia wzoru na pojemność elektryczną kondensatora cylindrycznego wyprowadźmy najpierw wzór na natężenie pola elektrycznego pomiędzy dwiema różnoimiennie naładowanymi powierzchniami cylindrycznymi o promieniach ra i rb ( ra < rb ).
Skorzystamy tu z prawa Gaussa dla pola elektrostatycznego:

prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego

Na początek wyobraźmy sobie w myśli naszą zamkniętą powierzchnię Gaussa. W tym przypadku będzie to walec o promieniu r i podstawach Sp, spełniający warunek:

warunek na r

Rozpiszmy teraz lewą stronę powyższego równania dla naszego przypadku, to jest naładowanego cylindra:

rozpisana lewa strona prawa Gaussa

Powyższe równanie powinniśmy rozumieć w następujący sposób:

Powierzchnię gaussa jaką jest cylinder rozpatrujemy jako sumę dwóch podstaw o polu powierzchni Sp oraz powierzchni bocznej walca o polu powierzchni Sb.

Kąt pomiędzy wektorami E(r) oraz dS dla podstaw wynosi 90ο natomiast dla powierzchni bocznej wynosi on zero.

Z trygonometrii wiemy, że:

kosinus 90

oraz:

kosinus 0

Nasze równanie przyjmuje więc następującą postać:

inna postać lewej strony prawa Gaussa

Wielkość E(r) możemy wyłączyć przed znak całki (ponieważ jest ona stała dla wybranej powierzchni bocznej Sb):

inna postać lewej strony prawa Gaussa

Powierzchnia Sb jest równa:

powierzchnia boczna walca

Lewa strona naszego pierwotnego równania przyjmuje więc postać:

lewa strona prawa Gaussa

A więc prawo Gaussa wygląda na tym etapie następująco:

postać prawa Gaussa

W celu dalszej analizy tego równania wprowadzimy nową wielkość fizyczną jaką jest liniowa gęstość ładunku elektrycznego η. Okazuje się bowiem, że ładunek rozłożony na powierzchni walca jest równoważny ładunkowi rozłożonemu wzdłuż osi tego walca jeżeli tylko odległości które rozpatrujemy są większe od promienia tego walca. Liniową gęstość ładunku η definiujemy następująco:

definicja liniowej gęstości ładunku elektrycznego

Wzór ten możemy zapisać inaczej:

zależność pomiędzy ładunkiem a liniową gęstością ładunku

Następnie dokonujemy całkowania obustronnego tego wzoru, otrzymując:

całkowa zależność pomiędzy ładunkiem a liniową gęstością ładunku

Ponieważ zakładamy, że ładunek jest rozłożony równomiernie więc η jest stały:

stałość liniowej gęstości ładunku

Wielkość stałą możemy wyciągnąć przed znak całki:

zależność pomiędzy ładunkiem a liniową gęstością ładunku

Jeżeli teraz tą wartość ładunku podstawimy do naszej postaci prawa Gaussa, uprościmy wartość wielkości L i przekształcimy ten wzór wyznaczając E(r) to otrzymamy:

zależność natężenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskończenie długiej lini naładowanej równomiernie ładunkiem elektrycznym

Kolejnym krokiem mającym na celu wyprowadzenie wzoru na pojemność elektryczną kondensatora cylindrycznego jest wyznaczenie napięcia pomiędzy powierzchniami cylindrycznymi o promieniach ra i rb.

Z zależności pomiędzy napięciem elektrycznym Uab oraz natężeniem pola elektrycznego E wynika, że:

zależność pomiędzy napięciem a natężeniem pola elektrycznego

Jeżeli teraz połączymy dwa powyższe wzory to otrzymamy:

napięcie elektryczne pomiędzy powierzchniami cylindrycznymi naładowanymi różnoimiennie

Wartości stałe wyciągamy przed znak całki otrzymując:

napięcie elektryczne pomiędzy powierzchniami cylindrycznymi naładowanymi różnoimiennie

Z zasad całkowania wiemy, że:

zasada całkowania

Widzimy więc, że:

napięcie elektryczne pomiędzy powierzchniami cylindrycznymi naładowanymi różnoimiennie

Z własności różnicy logarytmów wiemy, że:

własność różnicy logarytmów

Łącząc dwa powyższe wzory oraz biorąc wartość bezwzględną Uab otrzymujemy związek:

wartość bezwzględna napięcia elektrycznego pomiędzy powierzchniami cylindrycznymi naładowanymi różnoimiennie

Warto w tym momencie przypomnieć dwa wzory:

definicja pojemności kondensatora

oraz:

zależność pomiędzy ładunkiem a liniową gęstością ładunku

Łącząc powyższe trzy zależności otrzymujemy ostateczny wzór na pojemność elektryczną kondensatora cylindrycznego:

Pojemność elektryczna kondensatora cylindrycznego

 

 

20.7.3. Pojemność elektryczna kondensatora płaskiego.

 

 

W celu wyprowadzenia wzoru na pojemność elektryczną kondensatora płaskiego, wyprowadzimy najpierw wzór na natężenie pola elektrycznego pomiędzy okładkami takiego kondensatora.

Na początek wyprowadźmy wzór na wartość natężenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskończonej płaskiej naładowanej dodatnio (lub ujemnie) płaszczyzny.Skorzystamy z prawa Gaussa dla pola elektrostatycznego:

prawo Gaussa dla pola elektrostatycznego

Na początek wyobraźmy sobie naszą zamkniętą powierzchnię Gaussa. Jest to walec o podstawach Sp i wysokości 2r. Sytuację tą przedstawia poniższy rysunek:

nieskończona płaska powierzchnia naładowana równomiernie ładunkiem elektrycznym

Przeanalizujmy teraz lewą część powyższego równania:

lewa strona prawa Gaussa

Powyższe równanie powinniśmy rozumieć w następujący sposób:

Powierzchnię Gaussa jaką jest cylinder rozpatrujemy jako sumę dwóch podstaw o polu powierzchni Sp oraz powierzchni bocznej walca o polu powierzchni Sb.

Kąt pomiędzy wektorami E(r) oraz dS dla podstaw wynosi 0ο natomiast dla powierzchni bocznej wynosi on 90ο. Jeżeli skorzystamy ze znanych nam już własności funkcji trygonometrycznych to otrzymamy zależność:

lewa strona prawa Gaussa

Wielkość E(r) możemy wyłączyć przed znak całki (ponieważ jest ona stała dla wybranej powierzchni podstawy Sp ):

lewa strona prawa Gaussa

Na tym etapie prawo Gaussa zastosowane do nieskończonej naładowanej równomiernie płaszczyzny wygląda następująco:

postać prawa Gaussa

W celu dalszej analizy tego równania wprowadzimy nową wielkość fizyczną jaką jest powierzchniowa gęstość ładunku elektrycznego σ. Definiuje się ją następująco:

definicja powierzchniowej gęstości ładunku

Możemy przekształcić to równanie do następującej postaci:

zależność pomiędzy ładunkiem a powierzchniową gęstością ładunku

Następnie całkujemy obustronnie to równanie, otrzymując:

całkowa zależność pomiędzy ładunkiem a powierzchniową gęstością ładunku

Ponieważ gęstość powierzchniowa σ jest z założenia wielkością stałą, więc możemy tę wielkość „wyciągnąć” przed znak całki:

zależność pomiędzy ładunkiem a powierzchniową gęstością ładunku

Jeżeli teraz podstawimy tą wartośc ładunku do naszego prawa Gaussa to otrzymamy następujący wzór na natężenie pola elektrycznego E pochodzącego od nieskończonej płaszczyzny naładowanej jednorodnie:

natężenie pola elektrycznego pochodzące od nieskończonej płaskiej powierzchni naładowanej jednorodnie

Naszym celem jednak jest wyznaczenie natężenia pola elektrycznego powstającego pomiędzy dwiema płąszczyznami naładowanymi jednorodnie oraz różnoimiennie.

W celu przeanalizowania naszego przypadku posłużymy się rysunkiem:

rozkład pola elektrycznego pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego

Płaszczyzna naładowana dodatnio wytwarza po obu swoich stronach pole elektryczne o natężeniu E+ skierowane od tej płaszczyzny:

wartość nateżenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskończonej płaszczyzny naładowanej dodatnio

Płaszczyzna naładowana ujemnie wytwarza po obu swoich stronach pole elektryczne o natężeniu E skierowane do tej płaszczyzny:

wartość nateżenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskończonej płaszczyzny naładowanej ujemnie

Ponieważ kierunki i zwroty wektorów E+ i E są zgodne w przestrzeni pomiędzy obiema płaszczyznami więc natężenie wypadkowe jest zwykłą sumą wartości tych natężeń:

wartość natężenia pola elektrycznego w przestrzeni pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego

Tak więc widzimy, że natężenie pola elektrycznego pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego wynosi:

wartość natężenia pola elektrycznego w przestrzeni pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego

Następnym krokiem mającym na celu wyprowadzenie pojemności elektrycznej kondensatora płaskiego jest znalezienie napięcia Uab pomiędzy okładkami tego kondensatora. Skorzystamy w tym momencie z zależności pomiędzy napięciem a natężeniem pola elektrycznego:

zależność pomiędzy napięciem a natężeniem pola elektrycznego

Z prostej symetrii kondensatora płaskiego wynika, że:

warunki dla kondensatora płaskiego

Jeżeli teraz podstawimy do wzoru na Uab powyższe zależności oraz wzór na E, to otrzymamy:

wartość napięcia pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego

W następnej kolejności wartości stałe wyciągamy przed znak całki oraz dokonujemy całkowania uzyskując zależność:

wartość napięcia pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego

Przypomnijmy teraz sobie następującą zależność:

zależność pomiędzy ładunkiem a powierzchniową gęstością ładunku

oraz:

definicja pojemności elektrycznej kondensator

Jeżeli teraz połączymy trzy powyższe wzory to otrzymamy wzór na pojemność elektryczną kondensatora płaskiego:

pojemność elektryczna kondensatora płaskiego

gdzie:

Sp – pole powierzchni okładki kondensatora płaskiego

d – odległość pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego