Ogólna teoria względności – JR

Ogólna teoria względności

20.0 Spis treści.

 

20.1 Wiadomości wstępne

20.2 Ogólna teoria względności

20.3 Grawitacja i światło

20.4 Zakrzywienie czasoprzestrzeni

 

 

20.1 Wiadomości wstępne

 

 

 

Zasada względności Einsteina, czyli zasada fizycznej równoważności wszystkich układów inercjalnych, nosi nazwę szczególnej, a oparta na niej mechanika wielkich prędkości jest szczególną teorią względności. Jej rozważania i wnioski dotyczą tylko ruchu w układach inercjalnych. Prawa relatywistycznego ruchu w układach nieinercjalnych wchodzą w zakres ogólnej teorii względności.

W układach nieinercjalnych prawa dynamiki Newtona nie są spełnione. W szczególności ciało odosobnione nie będzie się poruszało jednostajnie i prostoliniowo, a w ruchu pod wpływem oddziaływania innych ciał układu obserwowane przyspieszenie nie będzie proporcjonalne do działającej siły. Aby przywrócić słuszność praw Newtona, obserwator nieinercjalny wprowadza fikcyjne siły bezwładności i wiąże je z przyspieszeniem układu. Siły bezwładności mają charakterystyczną cechę wspólną są wprost proporcjonalne do masy ciał, na które działaja. Poza siłami bezwładności znamy tylko jeden przypadek sił proporcjonalnych do masy są nimi siły grawitacji. Istnieje więc wyraźne podobieństwo między siłami grawitacji, a bezwładności. Oczywiście jest to podobieństwo tylko lokalne wewnątrz małego obszaru. W dużym obszarze bez trudu odróżnimy siły bezwłądności od ciążenia po innym charakterze zależności od odległości. Siła ciężkości jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od ciała będącego jej źródłem, a np. siła odśrodkowa rośnie wprost proporcjonalnie do odległości od osi obrotu. Dzięki siłom bezwładności możemy stwierdzić, że ciało się obraca.

Jeżeli cząstka odosobniona w układzie zamkniętym porusza się po paraboli (A), to przyczyną tego może być siła bezwładności (B) lub siła grawitacji (C). Pole sił bezwładności jest równoważne grawitacyjnemu.

siła bezwładności a siła grawitacji(Rys. 20.1)

Przykład: Wiadro Newtona. Gdy zaczynamy obracać wiszące na sznurze wiadro z wodą, powierzchnia wody początkowo pozostaje płaska. Później gdy siły lepkości zmuszą wodę do obracania się wraz z wiadrem, w wyniku działania siły odśrodkowej powierzchnia wody przybiera kształt paraboloidy obrotowej, który zachowuje jeszcze przez pewien czas po zatrzymaniu wiadra, dopóki nie przestanie się obracać. Jak widać, względny ruch wody i wiadra nie ma nic wspólnego z kształtem powierzchni. W początkowej fazie, gdy wiadro obracało się względem wody (albo odwrotnie to tylko kwestia wyboru układu odniesienia) powierzchnia była płaska, w końcowej zakrzywiona. Siły odśrodkowe pojawiają się nie przy względnym obrocie, tylko w ogóle przy obrocie. Jeżeli nazwiemy go obrotem względem gwiazd, to stąd już tylko krok do wniosku, że siły bezwładności, a może także i masa ciała, zależą od układu ciał bardzo odległych (zasada Macha).

wiadro Newtona(Rys. 20.2)

 

 

20.2 Ogólna teoria względności

 

 

 

W małych obszarach siły bezwładności są równoważne grawitacji nie jesteśmy w stanie odróżnić jednych od drugich. Jeżeli waga, na której stoimy w windzie czy rakiecie, wskaże wzrost ciężaru, to przyczyną tego może być zarówno skierowane do góry przyspieszenie układu (wzrost siły bezwładności) jak i nagłe pojawienie się pod wagą ciała o wielkiej masie (wzrost siły grawitacji). Z kolei jeżeli nie możemy odróżnić sił bezwładności od grawitacji, to nie jesteśmy w stanie stwierdzić przyspieszenia układu ani w jakikolwiek sposób wyróżnić któregoś układu nieinercjalnego spośród innych. Wszystkie układy nieinercjalne są sobie równoważne. Taka jest treść ogólnej zasady względności Einsteina.

 

 

20.3 Grawitacja i światło

 

 

 

Z zasady równoważności siły bezwładności i grawitacji wynika, że światło w polu grawitacyjnym powinno się zachowywać tak samo jak w układzie nieinercjalnym. Wyobraźmy sobie, że źródło wysyła światło w kierunku układu, który ma przyspieszenia a skierowane wzdłuż osi, np. z, łączącej początek układu ze źrodłem. Jeżeli w chwili wysłania sygnału układ był względem źródła nieruchomy, to w chwili dojścia sygnału do odległego o z obserwatora, poruszającego się z układem, układ ma już prędkość

prędkość(20.1)

Znak plus odnosi się do zbliżania, a minus do oddalania układu i źródła. Ruch układu względem źródła prowadzi do zjawiska Dopplera. Jeżeli częstość drgań fali świetlnej spoczywającego źródła wynosi ν, to obserwator nieinercjalny zarejestruje częstość

relatywistyczny efekt Dopplera(20.2)

Częstość światła biegnącego w kierunku przyspieszenia będzie zmniejszona tzn. przesunięta w stronę czerwieni, a biegnącego przeciwnie zwiększona, tzn. przesunięta w stronę fioletu.

zjawisko Dopplera dla układu nieinecjalnego(Rys. 20.3)

Przy małych prędkościach vu możemy napisać w przybliżeniu

przybliżenie dla małych prędkości(20.3)

Siły bezwładności są przeciwnie skierowane do przyspieszenia układu. Wobec tego ruch światła zgodny z kierunkiem przyspieszenia a oznacza ruch przeciwny do siły bezwładności, a przeciwny do przyspieszenia zgodny z siłą bezwładności.

Jeżeli siły bezwładności i grawitacji są równoważne to światło biegnące przeciwnie do kierunku sił grawitacji („pod górę”) powinno „poczerwienieć”, a biegnące zgodnie („spadające”) pofioletowieć zgodnie z wzorem

ni(20.4)
zmiana częstości fotonów w polu grawitacyjnym(Rys. 20.4)

Efekt ten powinien być tym wyraźniejszy, im większa jest odległość z między źródłem a obserwatorem czy odbiornikiem światła. Dzięki zastosowaniu najczulszej współcześnej metody pomiaru częstości, opartej na bezodrzutowej emisji i absorpcji promieni gamma (zjawisko Mössbauera), do doświadczalnego potwierdzenia „poczerwienienia” kwantów w ziemskim polu grawitacyjnym wystarczyła odległość z = 22 m.

Siły grawitacji wywierają także wpływ na promienie biegnące prostopadle, zakrzywiając ich tor.

 

 

20.4 Zakrzywienie czasoprzestrzeni

 

 

 

Jeżeli siły grawitacji są równoważne siłom bezwładności, to dlaczego w przeciwieństwie do nich w odległości nieskończenie wielkiej maleją do zera? Ogólna teoria względności upatruje przyczynę tego w geometrycznej strukturze czasoprzestrzeni konkretnie w jej zakrzywieniu. Podobnie jak w geometrii euklidesowej istnieją zakrzywione powierzchnie np. powierzchnia kuli, tak w geometriach Łobaczewskiego i Riemanna możliwe jest zakrzywienie przestrzeni. W takiej przestrzeni cząstka odosobniona nie porusza się po linii prostej tylko po krzywej. Poruszające się po liniach krzywych cząstki zbliżają się do siebie, a my to interpretujemy jako wystąpienie sił przyciągania grawitacyjnego. Ponieważ krzywizna linii zależy przede wszystkim od struktury czasoprzestrzeni, przyspieszenie swobodnego spadku nie zależy od masy ciała.

linie światła(Rys. 20.5)

Ogólna teoria względności jest znacznie trudniejsza niż szczególna. Warto jednak pamiętać, że przewidziane przez nią efekty, takie jak obrót perihelium Merkurego, zakrzywienie toru promieni przechodzących w pobliżu Słońca i poczerwienienie światła w polu grawitacyjnym doświadczenia potwierdziły.