Mechanika relatywistyczna – JR

Mechanika relatywistyczna

23.1 Wiadomości wstępne.
23.2 Transformacje Lorentza.
23.3 Wnioski wypływające z transformacji Lorentza: skrócenie długości.
23.4 Wnioski wypływające z transformacji Lorentza: dylatacja czasu.
23.5 Wnioski wypływające z transformacji Lorentza: relatywistyczna transformacja prędkości.
23.6 Relatywistyczna zależność masy od prędkości.
23.7 Masa i energia relatywistyczna.
23.8 Relatywistyczny związek energii z pędem.

23.1 Wiadomości wstępne.

 

Mechanika klasyczna (newtonowska) jest słuszna jedynie dla ciał których prędkości są znacznie mniejsze od prędkości światła w próżni (tą prędkość oznaczamy literką c). Natomiast do opisu ruchów z prędkościami porównywalnymi z c stosuje się stworzoną przez Einsteina mechanikę relatywistyczną, zgodną z postulatami szczególnej teorii wzgędności.

Podstawą tej teorii są: zasada względności Einsteina oraz zasada stałości prędkości światła.

Zgodnie z pierwszą z powyższych zasad:

 

Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

 

Zasada stałości prędkości światła głosi, że:

 

prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia i nie zależy od ruchu źródeł i odbiorników światła.

 

23.2 Transformacje Lorentza.

 

 

transformacje Lorentza rysunek

W mechanice relatywistycznej nie tylko miejsce, ale i czas, w którym zaszło pewne zdarzenie W, zależą od przyjętego układu odniesienia. Jeżeli znamy miejsce (x, y, z) i czas t zdarzenia w pewnym układzie K to korzystając z transformacji Lorentza możemy znaleźć miejsce (x’, y’, z’) i czas t’ tego samego zdarzenia w układzie K’ który porusza się względem układu K z pewną prędkością v0.

Przedstawione poniżej wzory na transformacje Lorentza są słuszne dla szczególnego przypadku gdy obydwa układy poruszają się względem siebie wzdłuż osi OX (O’X’).

transformacje Lorentza wzór

Odwrotne transformacje Lorentza:

odwrotne transformacje Lorentza wzory

gdzie:

czynnik Lorentza wzór

γ – jest to tak zwany czynnik Lorentza

23.3 Wnioski wypływające z transformacji Lorentza: skrócenie długości.

 

Z transformacji Lorentza wypływa następujący wniosek:

 

Długość pręta l zmierzona przez obserwatora A w układzie XYZ, względem którego pręt porusza się z prędkością v0 jest mniejsza od długości spoczynkowej l0 czyli zmierzonej w układzie X’Y’Z’, względem którego pręt jest w spoczynku.

 

W celu wyprowadzenia zależności pomiędzy l i l0 zapiszmy wzory:

skrócenie długości

Z transformacji Lorentza wiemy, że:

skrócenie długości

oraz:

skrócenie długości

Łącząc powyższe cztery wzory w jeden układ równań oraz po prostych przekształceniach otrzymujemy:

skrócenie długości

Następnie dzielimy przez siebie obydwa równania oraz rozpisujemy czynnik Lorentza otrzymując ostateczny wzór na relatywistyczne skrócenie odcinka:

skrócenie długości

23.4 Wnioski wypływające z transformacji Lorentza: dylatacja czasu

 

Dylatacja czasu to wydłużenie odstępu czasu, jeżeli pomiar zostanie przeniesiony do innego niż własny układ odniesienia.

 

Innymi słowy w układzie odniesienia związanym z poruszającym się obiektem fizycznym, przedział czasu Δt’ upływający między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym układzie jest równy czasowi własnemu Δt0. Dla obserwatora znajdującego się w laboratoryjnym układzie odniesienia K względem którego obiekt porusza się z prędkością v0 czas między tymi zdarzeniami Δt jest większy od czasu własnego (Δt > t0):

Wyprowadźmy zależność pomiędzy Δt oraz Δt0:

Odstęp czasu między dwoma zdarzeniami dla obserwatora związanego z nieruchomym układem odniesienia wynosi:

przedział czasu wzór

Oba zdarzenia nastąpiły w tym samym punkcie, a więc:

oba zdarzenia nastąpiły w tym samym punkcie

Korzystając ze znanych już transformacji Lorentza możemy zapisać:

wyprowadzenie wzoru na dylatacje czasu

Odejmujemy teraz powyższe równania od siebie, otrzymując zależność:

dylatacja czasu wzór

Lub inaczej:

dylatacja czasu wzór

23.5 Wnioski wypływające z transformacji Lorentza: relatywistyczna transformacja prędkości

 

 

transformacja prędkości rysunek

W układzie K położenie cząstki jest określone w każdej chwili t współrzędnymi x, y, z. Poniższe wyrażenia przedstawiają rzuty wektora prędkości cząstki na osie x, y, z w układzie K:

składowe prędkości w układzie K

W układzie K’ położenie punktu w każdej chwili t’ jest określone współrzędnymi x’, y’, z’ przy czym rzuty wektora prędkości wynoszą:

składowe prędkośći w układzie K'

Zgodnie z transformacjami Lorentza podanymi w podrozdziale 23.2 oraz przechodząc do postaci różniczkowej tych równań możemy zapisać cztery następujące równania:

różniczkowy zapis transformacji Lorentza

W celu otrzymania zależności na vx dzielimy pierwsze równanie przez czwarte:

transformacja prędkości

Dzielimy teraz licznik i mianownik powyższego wyrażenia przez dt’ otrzymując:

transformacja prędkości

W celu otrzymania zależności na vy oraz vz postępujemy analogicznie z drugim i trzecim równaniem otrzymując:

transformacja prędkości

transformacja prędkości

Z „odwrotnych” transformacji Lorentza analogicznie łatwo wyprowadzić wyrażenia na prędkości w układzie K’:

odwrotna transformacja prędkości

odwrotna transformacja prędkości

odwrotna transformacja prędkości

Jeżeli v0 << c to relatywistyczne wzory na składanie prędkości przechodzą w zwykłe wzory klasyczne:

klasyczne prawo składania prędkości

Jeżeli ciało porusza się równolegle do osi x to jego prędkość v względem układu K jest równa vx, a względem układu K’ jego prędkość wynosi v’=v’x.

W takim przypadku prawo składania prędkości ma postać:

uproszczone relatywistyczne prawo składania prędkości

23.6 Relatywistyczna zależność masy od prędkości.

 

Podstawowe prawa mechaniki, jak zasady zachowania: pędu, krętu i energii pozostają ważne i w mechanice relatywistycznej, ale znaczenie niektórych wielkości ulega zmianie. Na przykład okazuje się, że aby pozostała słuszna zasada zachowania pędu, masa ciała musi zależeć od prędkości według wzoru:

masa relatywistyczna wzór

gdzie:

mmasa spoczynkowa ciała (czyli masa ciała nieruchomego).

Przyrost masy relatywistycznej wraz ze wzrostem prędkości można przedstawić na wykresie. Jeżeli na osi odciętych umieścimy stosunek v0/c a na osi rzędnych stosunek m/m0 to wykres tej zależności wygląda następująco:

masa relatywistyczna wykres

Pęd w mechanice relatywistycznej jest zdefiniowany tym samym wzorem co w mechanice klasycznej:

pęd wzór

ale nie jest on już ściśle proporcjonalny do prędkości, ponieważ masa jest funkcją prędkości.

23.7 Masa i energia relatywistyczna.

 

Aby zasada zachowania energii była nadal słuszna w mechanice relatywistycznej, to między masą a energią musi zachodzić związek:

równoważność masy i energii wzór

gdzie:

E – całkowita energia ciała

Jest to słynne równanie Einsteina wyrażające równoważnośc masy i energii.

Do określenia energii ciała pozostającego w spoczynku wprowadza się pojęcie energii spoczynkowej E0:

energia spoczynkowa wzór

Relatywistyczna energia kinetyczna jest równa różnicy energii całkowitej ciała w ruchu i jego energii spoczynkowej, czyli:

relatywistyczna energia kinetyczna wzór

relatywistyczna energia kinetyczna wzór

Według szczególnej teorii względności żadne ciało materialne nie może osiągnąć prędkości światła. Wynika to z powyższego wzoru. Gdy bowiem prędkość v0 dąży do c to energia kinetyczna ciała dąży do nieskończoności, a to oznacza, że rozpędzenie ciała do prędkości światła wymaga nieskończenie wielkiej pracy. Z prędkością światła mogą jedynie poruszać się cząstki elementarne o masie spoczynkowej równej zeru. Jedyną znaną dotąd taką cząstką jest foton (kwant światła).

23.8 Relatywistyczny związek energii z pędem.

 

W celu wyprowadzenia związku pomiędzy energią a pędem (w mechanice relatywistycznej) skorzystamy ze znanych już nam zależności:

równoważność masy i energii wzór

pęd relatywistyczny

Podnieśmy teraz obustronnie te równości do kwadratu, w wynku czego otrzymamy:

relatywistyczna zależność pomiędzy pędem a energią całkowitą

Pomnóżmy teraz drugą zależnośc przez c2:

relatywistyczna zależność pomiędzy pędem a energią całkowitą

Odejmijmy teraz te równania stronami otrzymując w efekcie jedno równanie:

relatywistyczna zależność pomiędzy pędem a energią całkowitą

Po prawej stronie powyższego równania wyciągamy przed nawias czynnik m2c4:

relatywistyczna zależność pomiędzy pędem a energią całkowitą

Jeżeli zastąpimy w tym wyrażeniu masę relatywistyczną znaną nam już zależnością:

masa relatywistyczna wzór

To otrzymamy szukany związek między pędem a energią całkowitą ciała:

relatywistyczna zależność pomiędzy pędem a energią całkowitą

Lub w alternatywnej postaci:

relatywistyczna zależność pomiędzy pędem a energią całkowitą