Dynamika punktu materialnego – JR

Dynamika punktu materialnego

6.1. Masa i pęd punktu materialnego.
6.2. Moment bezwładności.
6.3. Twierdzenie Steinera.
6.4. Dowód twierdzenia Steinera.
6.5. Siła i moment siły.
6.6. Zasady dynamiki klasycznej.
6.7. Układy inercjalne.
6.8. Zasada względności Galileusza – transformacje Galileusza.
6.9. Ruch ciał o zmiennej masie.

Dynamika bada ruch ciał z uwzględnieniem przyczyn tego ruchu czyli sił.

6.1. Masa i pęd punktu materialnego .

 

Nie bez przyczyny pęd dawniej zwany był przez fizyków „ilością prędkości”. Wektor pędu bowiem jest to iloczyn masy ciała i jego wektora prędkości:

definicja wektora pędu wzór

Masa natomiast jest to wielkość fizyczna charakteryzująca obiekty fizyczne służąca do ilościowego opisu ich bezwładności i oddziaływania grawitacyjnego. Początkowo fizycy rozróżnili tak zwaną masę bezwładną oraz masę grawitacyjną, jednak po jakimś czasie okazało się że stosunek masy bezwładnej do grawitacyjnej jest bezwymiarowy i równy jedności (czyli obie masy są sobie równe).>W tym podrozdziale zajmiemy się tylko masą bezwładną.

Masa bezwładna jest miarą bezwładności ciała to znaczy oporu jaki ciało stawia sile zmieniającej stan jego ruchu. Jednostką masy jest 1 kilogram (1 kg) – jest jedną z siedmiu podstawowych jednostek w układzie SI.

6.2. Moment bezwładności.

 

W przypadku ruchu obrotowego bezwładność ciała zależy nie tylko od jego masy, ale także od jej odległości od osi obrotu. Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności. Dla punktu materialnego o masie m, którego odległość od nieruchomej osi obrotu wynosi r wielkość tę definiujemy jako:

moment bezwładności punktu materialnego

Moment bezwładności układu punktów materialnych o masach Δmi, leżących w różnych odległościach ri od osi obrotu wynosi zatem:

moment bezwładności układu punktów materialnych

W przypadku ciała sztywnego, które charakteryzuje się ciągłym rozkładem masy, sumowanie należy zastąpić całkowaniem. A więc ciało sztywne dzielimy na nieskończenie małe cząstki o masach Δmi(co przedstawia poniższy rysunek):

moment bezwładności bryły sztywnej o ciągłym rozkładzie masy

i przy wyznaczaniu jego momentu bezwładności obliczamy granicę powyższego wyrażenia przy Δmi→ 0:

moment bezwładności wzór - definicja

W konkretnych problemach fizycznych często dokonuje się zamiany zmiennej, przechodząc od całkowania po masie, do całkowania po objętości. W tym celu wykorzystuje się zależność definiującą objętościową gęstosć masy:

definicja gęstości masy

moment bezwładności definicja

Momenty bezwładności dla różnych brył można znaleźć w tablicach fizycznych. Wartość momentu bezwładności na ogół zależy od wyboru osi obrotu.

6.3. Twierdzenie Steinera .

 

W przypadku ciała jednorodnego o regularnym kształcie na jego osi symetrii, leży środek masy ciała. Istnieje prosty związek między momentem bezwładności Ism , względem osi przechodzącej przez środek masy, a momentem bezwładności I względem innej, równoległej do niej osi. Ten użyteczny związek nosi nazwę twierdzenia Steinera i ma następującą postać matematyczną:

twierdzenie Steinera - wzór

gdzie:

M – masa ciała

h – odległość między dwiema osiami

6.4. Dowód twierdzenia Steinera .

 

W celu wyprowadzenia twierdzenia Steinera dla bryły sztywnej wprowadzamy układ współrzędnych o początku w punkcie O. Zgodnie z poniższą ilustracją:

dowód twierdzenia Steinera

Moment bezwładności dI małej cząstki masy dm względem osi przechodzącej przez punkt
P wynosi:

dowód twierdzenia Steinera

Po scałkowaniu powyższego wzoru otrzymujemy:

dowód twierdzenia Steinera

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia dla wyrażenia podcałkowego otrzymujemy:

dowód twierdzenia Steinera

Następnie grupujemy zmienne x i y, a stałe a i b wyciągamy przed symbol całki:

dowód twierdzenia Steinera

Powyżej skorzystaliśmy z faktu, że całka sumy kilku składników równa jest sumie całek. Współrzędne środka masy wynoszą: (0, 0). Z drugiej strony współrzędne te określone są przez wzory:

współrzędne środka masy

współrzędne środka masy

a więc:

zerowa wartość środka masy

oraz:

zerowa wartość środka masy

w związku z czym:

wyprowadzenie twierdzenia Steinera

Przypomnijmy teraz, że:

wyprowadzenie twierdzenia Steinera

oraz:

wyprowadzenie twierdzenia Steinera

a także:

wyprowadzenie twierdzenia Steinera

wyprowadzenie twierdzenia Steinera

Uwzględniając powyższe wzory otrzymujemy twierdzenie Steinera:

twierdzenie Steinera

6.5. Siła i moment siły.

 

Siły, z którymi mamy do czynienia w mechanice klasycznej, mają naturę grawitacyjną lub elektromagnetyczną. Elektromagnetyczne pochodzenie niektórych typowych sił mechanicznych może budzić zdziwienie, jednakże w skali mikroskopowej takie siły jak np. siła tarcia lub siła sprężystości, sprowadzają sie w istocie do oddziaływań elektromagnetycznych.

Jak wykazują doświadczenia, bezpośrednim skutkiem działania siły F na ciało o masie m jest nadanie temu ciału przyspieszenia a:

druga zasada dynamiki Newtona

Jednostką siły jest niuton:

wymiar niutona

W ruchu obrotowym odpowiednikiem siły F jest moment siły M, który dla cząstki znajdującej się w odległości r od nieruchomej osi obrotu definiujemy jako:

definicja momentu siły

Zgodnie z definicją wektorowego iloczynu dwóch wektorów moduł wektora M możemy zapisać:

wartość wektora momentu siły

lub:

wartość wektora momentu siły

lub:

wartość wektora momentu siły

Wielkość r nosi nazwę ramienia siły.

Powyższe wzory można zilustrować rysunkiem:

moment siły

6.6. Zasady dynamiki klasycznej.

 

Podstawą dynamiki klasycznej są trzy prawa sformułowane przez Newtona i są one prawdziwe dla układów inercjalnych.

układ inercjalny – to taki układ odniesienia w którym, jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działąjące siły równoważą się, to ciało jest w spoczynku albo porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Każdy układ który porusza się względem danego układu inercjalnego ruchem jednostajnym po lini prostej jest również układem inercjalnym.

6.6.1. Pierwsze prawo Newtona (I zasada dynamiki Newtona).

Jedno ze sformułowań tego prawa brzmi następująco:

Każde ciało znajduje się w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego prostoliniowego dopóki działanie ze strony innych ciał nie zmieni tego stanu.

Pierwszą zasadę dynamiki matematycznie można ująć następująco:

pierwsza zasada dynamiki Newtona wzór

6.6.2. Drugie prawo Newtona (II zasada dynamiki Newtona).

Drugie prawo Newtona głosi, że:

Szybkość zmiany pędu ciała równa jest sile działającej na ciało:

druga zasada dynamiki Newtona wzór

6.6.3. Trzecie prawo Newtona (III zasada dynamiki Newtona).

Trzecie prawo Newtona głosi, że:

Dwa ciała A i B oddziałują na siebie siłami, które są sobie równe co do wartości, skierowane wzdłuż prostej łączącej te ciała lecz maja przeciwne zwroty.

trzecia zasada dynamiki Newtona wzór

Należy zaznaczyć, że siły te nie równoważą się gdyż są przyłożone do różnych ciał.

6.7. Układy inercjalne.

 

Ruch ciał materialnych określamy względem innych ciał materialnych, z którymi wiążemy układ odniesienia. A więc ruch jest względny. Podstawę określania czy układ jest inercjalny stanowi I zasada dynamiki Newtona czyli zasada bezwładności.

Układ odniesienia, w którym spełniona jest zasada bezwładności, nazywamy układem inercjalnym.

Układ odniesienia, w którym zasada bezwładności nie jest spełniona, nazywamy układem nieinercjalnym.

W tym miejscu warto zaznaczyć, że każdy układ, który porusza się względem układu inercjalnego ruchem jednostajnym prostoliniowym, jest także układem inercjalnym.

6.8. Zasada względności Galileusza – transformacje Galileusza

 

W celu wyprowadzenia transformacji Galileusza wyobraźmy sobie dwa układy odniesienia, które poruszają się względem siebie ze stałą prędkością v0. Układ oznaczony literą K na poniższym rysunku uważamy za nieruchomy. Układ K’ porusza się więc względem K ruchem jednostajnym prostoliniowym. Osie układu współrzędnych obieramy tak, żeby osie x i x’ pokrywały się, a pozostałe były do siebie parami równoległe. Zakładamy, że czas zaczęto mierzyć w chwili w której początki obu układów współrzędnych pokrywały się.

transformacje Galileusza - dwa układy odniesienia

Z powyższego rysunku widać, że

transformacje Galileusza

Równania te nazywamy transformacjami Galileusza

Pierwszy i ostatni związek są słuszne tylko dla v0 znacznie mniejszych od prędkości światła w próżni c. Jeżeli wartość v0 jest porównywalna z c to przekształcenia Galileusza muszą być zastąpione ogólniejszymi transformacjami Lorentza.

W celu wyprowadzenia wzorów na dodawanie prędkości (w mechanice nierelatywistycznej) zróżniczkujmy pierwsze trzy wzory z transformacji Galileusza względem czasu, otrzymując:

klasyczne transformacje prędkości

lub:

klasyczne transformacje prędkości

6.9. Ruch ciał o zmiennej masie.

 

W wielu zagadnieniach fizycznych mamy do czynienia z ruchem ciała, którego masa zmienia się wraz z upływem czasu. Przykładem takiego ciała może być rakieta, z której wylatują gazy spalinowe.

Ciało o zmiennej masie m(t) porusza się w pewnej chwili z prędkością v i działa na nie siła zewnętrzna F. Po czasie dt masa ciała zmienia się o dm, a prędkość ubywającej (lub przybywającej) masy dm względem ciała wynosi w. Zmiana pędu wynosi zatem:

zmiana pędu w układzie o zmiennej masie

Pierwszy składnik powyższej sumy reprezentuje impuls siły zewnętrznej, a drugi zmianę pędu ciała spowodowaną zmianą masy. Wektor (v+w) jest prędkością masy dm względem układu inercjalnego(w przypadku z rakietą jest to Ziemia). Dzieląc powyższe równanie przez dt przechodzimy z różniczek do pochodnych:

równanie dynamiki dla układu o zmiennej masie

Z definicji pochodnej iloczynu dwóch funkcji wiemy, że:

uogólniony wzór na pochodną wektora pędu po czasie

Przyrównujemy do siebie powyższe dwa równania otrzymując:

wyprowadzenie równania Mieszczerskiego

Po skróceniu odpowiednich wyrazów otrzymujemy:

równanie Mieszczerskiego

lub:

równanie Mieszczerskiego

Powyższe równanie to ogólne równanie różniczkowe ruchu ciała o zmiennej masie noszące nazwę równania Mieszczerskiego

Równanie to można zastosować do pionowego ruchu rakiety przyjmując, że prędkość względna gazów spalinowych wylatujących z dyszy silnika rakiety wynosi w oraz, że:

szybkość ubytku masy

Możemy więc zapisać:

równanie Mieszczerskiego

Pierwszy składnik sumy w równaniu Mieszczerskiego wyraża wypadkową F sił zewnętrznych drugi zaś składnik Fr wyraża tak zwaną siłę ciągu, odpowiedzialną za zmianę ruchu rakiety. W celu uproszczenia rachunków przyjmiemy, że siła ciągu jest znacznie większa od wypadkowej sił zewnętrznych (na którą składa się siła ciężkości i siła oporu ruchu).Przybliżenie to jest tym lepsze im dalej od Ziemi znajduje się rakieta. Kierunek wznoszenia się rakiety przyjmujemy za dodatni, a kierunek gazów spalinowych za ujemny. Sytuację tą przedstawia poniższy rysunek:

rakieta jako układ o zmiennej masie

wypadkowa sił zewnętrznych jest znikomo mała

W naszym przypadku równanie Mieszczerskiego (tym razem w postaci skalarnej) wygląda następująco:

równanie Mieszczerskiego

Mnożymy powyższe równanie przez dt i po prostym przekształceniu otrzymujemy:

równanie Mieszczerskiego

Jest to proste równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, które rozwiązujemy, całkując obie jego strony w odpowiednich granicach. Załóżmy przy tym, że w chwili początkowej:

warunki początkowe

Mamy zatem:

wyprowadzenie wzoru Ciołkowskiego

Zmatematyki wiemy, że:

wyprowadzenie wzoru Ciołkowskiego

Po zastosowaniu powyższego wzoru otrzuymujemy:

wyprowadzenie wzoru Ciołkowskiego

Aby wyeliminować m z powyższego równania ( i jednocześnie wprowadzić do niego μ ) przypomnimy już wprowadzoną przez nas zależność:

zależność masy od czasu

Po scałkowaniu tej zależności otrzymujemy:

zależność masy od czasu

zależność masy od czasu w układzie o zmiennej masie

A więc ostateczny wzór na prędkość rakiety ma postać:

wzór Ciołkowskiego

Powyższa zależność nosi nazwę wzoru Ciołkowskiego.