Drgania – JR

Drgania

13.1 Drgania.
13.1 Wiadomości wstępne.
13.2 Drgania harmoniczne.
13.3 Pulsacja a częstość (częstotliwość).
13.4 Oscylatory.
13.5 Położenie równowagi.
13.6 Bezwładność.
13.7 Opory ruchu.
13.8 Siły zwrotne.
13.9 Równanie drgań.
13.10 Oscylator sprężysty.
13.11 Ciężarek na sprężynie.
13.12 Prawo Hooke’a.
13.13 Ciężarek na pręcie.
13.14 Wahadło matematyczne.
13.15 Wahadło fizyczne.
13.16 Wahadło torsyjne.
13.17 Energia w ruchu harmonicznym.
13.18 Drgania elektryczne.
13.19 Energia obwodu drgającego.
13.20 Opis drgań za pomocą liczb zespolonych.
13.21 Wektory fazowe.
13.22 Obroty fazorów.
13.23 Drgania złożone – zasada superpozycji.
13.24 Drgania złożone – składanie drgań.


Drganiami nazywamy zjawiska, które są w taki czy inny sposób powtarzalne. Przykłady drgań:

– ruch wahadła zegara

– drgania struny lub widełek kamertonu

– napięcie na okładkach kondensatora w obwodzie odbiornika radiowego, itp.

W zależności od fizycznej natury powtarzającego się zjawiska mówimy o drganiach: mechanicznych, elektromagnetycznych itd.

W fizyce rolę podstawowych odgrywają drgania harmoniczne(proste)

13. Drgania harmoniczne.

Drgania harmoniczne są opisywane przez następujące równanie różniczkowe:

równanie różniczkowe drgań prostych

Gdzie dwie kropki nad x oznaczają drugą pochodną tej wielkości po czasie.

gdzie:

ω0 – częstość kołowa.

częstość kołowa wzór

gdzie:

m – masa ciała wykonującego drgania

k – współczynnik sprężystości

Ogólnym rozwiązaniem tego równania jest następująca funkcja:

rozwiązanie równania różniczkowego drgań prostych harmonicznych

gdzie:

A – amplituda drgań

α – faza początkowa drgań

t – czas

Wykres drgania harmonicznego przedstawia poniższy rysunek:

wykres drgania harmonicznego

Wzór na zależność prędkości od czasu możemy uzyskać różniczkując x(t) po czasie t.

 

13.1 Wiadomości wstępne.

 

Wśród praktycznie nieograniczonej mnogości rozmaitych ruchów wyróżniamy takie, które się powtarzają: poruszające się ciała lub cząstki powracają do tych samych punktów, lub ogólnie mówiąc do tych samych wartości i kierunków parametrów ruchu. Ruchy powtarzające się nazywamy drganiami. Jeżeli czas powtarzalności jest stały nazywamy go okresem, a ruch okresowym lub periodycznym. Oznaczając wielkość charakteryzującą ruch czyli parametr ruchu przez q, możemy opisać okresowość ruchu równaniem:

okresowość drgań

lub ogólniej:

okresowość drgań

Przy czym t oznacza czas, a n jest liczbą całkowitą. Okres T można zatem zdefiniować jako najmniejszy odstęp czasu, po którym ruch się powtarza.. Jest to zarazem czas jednego pełnego przejścia przez wszystkie powtarzające się cyklicznie wartości i kierunki wielkości q. Na poniższym wykresie przedstawiono ruch periodyczny o okresie T:

przykład ruchu periodycznego

Okres mierzymy oczywiście w jednostkach czasu, np. w sekundach. Odwrotność okresu nazywamy częstością (lub częstotliwością):

częstotliwość drgań

i mierzymy ją w hercach czyli odwrotnościach sekundy.

Ruch okresowy z natury rzeczy jest ograniczony, wielkość q zawiera się między wartościami skrajnymi:

zakres wartości wielkości drgającej

Jeżeli ruch jest symetryczny, istnieje określona wartość q, której odpowiada środek symetrii. Wygodnie jest przyjąć go jako punkt odniesienia (początek układu). W środku symetrii mamy teraz q=0, a obie wartości skrajne są sobie równe i mają przeciwne znaki:

wartość minimalna i maksymalna wielkości q

Maksymalna wartość qm okresowo zmiennej wielkości q nosi nazwę jej amplitudy. Teraz:

zakres q

czyli:

zakres q zapisany za pomocą wartości bezwzględnej

13.2 Drgania harmoniczne.

 

wykres drgań harmonicznych

Jeżeli przebieg zmienności wielkości q da się opisać za pomocą funkcji sinus lub cosinus, drgania nazywamy harmonicznymi. Wartość q zmienia się zgodnie ze wzorem:

przebieg sinusoidalny

lub:

przebieg sinusoidalny

gdzie ω oznacza częstość kołową albo pulsację. Argument sinusa lub cosinusa:

argument faza

nosi nazwę fazy. Jak widać faza rośnie liniowo z czasem. Sens stałej fazowej ϑ najłatwiej określić kładąc t=0. Wówczas Φ=ϑ czyli:

sens stałej fazowej

liniowość fazy względem czasu

Stała fazowa ϑ jest równoznaczna z fazą początkową. Odpowiada jej początkowa wartość okresowo zmiennej wielkości q :

początkowa wartość wielkości q

lub

początkowa wartość wielkości q

przebiegi sinusoidalne

 

13.3 Pulsacja a częstość (częstotliwość).

 

Nazywając pulsację częstością kołową sugerujemy, że ma ona związek z częstością ν. Nietrudno go znaleźć. Jak wiemy dodanie do czasu t całkowitej liczby n okresów nie zmienia wartości q, a więc:

okresowość - własność funkcji cosinus

Najprostszym rozwiązaniem dla powyższej równości jest zależność ωT=2π. Stąd:

pulsacja

lub:

pulsacja

Częstość kołowa (pulsacja) jest wprost proporcjonalna do częstości.

Aby uniknąć nieporozumień, w niektórych dziedzinach techniki przyjmuje się dla ν nazwę częstotliwości. Warto zauważyć, że pulsacja ω i częstość („częstotliwość”) różnią się jednostkami: pulsację mierzymy w radianach na sekundę, a częstość w hercach. Współczynnik 2π jest tutaj mianowany, oznacza kąt pełny, czyli 2π radianów.

 

13.4 Oscylatory

 

Ciała lub układy wykonujące drgania noszą nazwę oscylatorów. W ogólnym przypadku nie muszą się poruszać, wystarczy, że wielkości charakteryzujące ich stan zmieniają się okresowo. Rozróżniamy oscylatory: mechaniczne, elektryczne, atomowe i jądrowe, różniące się nie tylko rodzajem drgającej wielkości, ale przede wszystkim zakresem częstości. Układy mechaniczne drgają z tak zwaną częstością akustyczną: do około 105 Hz, elektryczne z częstością radiową: 103-1012 H,z atomowe z częstością optyczną: 1011-1017 Hz, jądrowe z częstością do 1022 Hz i więcej.

Aby układ mógł wykonywać drgania, muszą być spełnione następujące warunki:

1. Istnieje położenie równowagi i przywracająca je siła zwrotna

2. Układ ma bezwładność.

3. Opory ruchu nie są zbyt duże.

13.5 Położenie równowagi

 

W ogólnym przypadku energia potencjalna oscylatora zależy od wielkości q:

energia potencjalna w oscylatorze harmonicznym

Położenia (lub stany) równowagi odpowiadają minimom energii potencjalnej. Wychyleniu, czyli odejściu od stanu równowagi towarzyszy pojawienie się czynnika przywracającego równowagę. W oscylatorze mechanicznym wielkość q oznacza wychylenie, a czynnikiem przywracającym równowagę jest siła:

siła jako gradient

Powyższą równość można również zapisać przy pomocy operatora nabla:

siła jako gradient - zapisana za pomocą operatora nabla

lub w przypadku jednowymiarowym:

siła w przypadku jednowymiarowym

Wychylenie x mierzymy od położenia równowagi. Siła przywracająca równowagę jest przeciwnie skierowana do wychylenia, a jej wartość rośnie wraz z nim. Siła jest przeciwnie skierowana do wychylenia

13.6 Bezwładność

 

Gdyby nie było bezwładności, to siła zwrotna przywróciłaby stan równowagi i ruch na tym by się zakończył. Bezwładność powoduje, że po przejściu przez stan równowagi następuje wychylenie w przeciwną stronę. Powstaje przy tym siła zwrotna, skierowana w stronę położenia równowagi, która w końcu ją przywraca, ale bezwładność znowu nie pozwala na zatrzymanie w tym miejscu. Następuje wychylenie w tę stronę co na początku i cały proces powtarza się od nowa. Miarą bezwładności w oscylatorach mechamicznych jest masa m ciała drgającego.

 

13.7 Opory ruchu

 

W każdym ruchu mamy do czynienia z oporami ruchu, czyli siłami przeciwnie skierowanymi do prędkości, których praca jest zawsze ujemna. Należą do nich tarcie i lepkość. W ogólnym przypadku będą to różnego rodzaju czynniki nieodwracalnie zmniejszające energię układu, czyli tak zwane czynniki dyssypacyjne. Ich główny efekt polega na zmniejszaniu amplitudy, która z czasem zanika. Jeżeli opory są zbyt duże, to czas zaniku jest mniejszy niż okres i w ogóle nie dochodzi do drgań.

 

13.8 Siły zwrotne

 

Krzywa zależności energii potencjalnej od położenia może mieć różny kształt. Nieraz trudno ją opisać analitycznie.

zależność energii potencjalnej od położenia

Możemy ją zawsze aproksymować szeregiem potęgowym:

energia potencjalna przybliżona za pomocą szeregu

gdzie:

x – oznacza położenie

x0 – oznacza położenie równowagi

ξ = x-x0 – wychylenie z położenia równowagi

współczynniki an mają postać:

współczynnik an

(n jest liczbą naturalną).

Biorąc pod uwagę, że w położeniu równowagi (dla n = 1):

zerowanie się pierwszej pochodnej energii potencjalnej

możemy wypisać pierwsze wyrazy szeregu:

rozpisany szereg potęgowy

Dla małych wychyleń wolno pominąć dalsze wyrazy pozostawiając dwa pierwsze:

szereg potęgowy

aproksymacja energii potencjalnej parabolą

i stąd znaleźć siłę zwrotną:

siła zwrotna

albo:

siła w ruchu harmonicznym

przy czym przyjęto oznaczenie:

oznaczenie stałej k

Wprowadzoną tutaj stałą k można znaleźć doświadczalnie jako stosunek siły do wychylenia:

stała k

W układach sprężystych, w których utożsamiamy wychylenie z odkształceniem, nazywa się ją zwykle współczynnikiem sprężystości (lub sztywności) i wyraża w niutonach na metr (N/m).

Wynik przeprowadzonego rachunku możemy sformułować następująco:

w bliskim sąsiedztwie położenia równowagi, czyli przy małym wychyleniu siła zwrotna jest wprost proporcjonalna do wartości wychylenia.

Energia potencjalna otrzymuje w tym przypadku postać:

energia potencjalna sprężystości

Wygodnie jest przyjąć położenie równowagi jako początek układu, wówczas:

założenia

i wzory się upraszczają:

energia potencjalna

oraz

siła w ruchu harmonicznym

Tak więc, przesuwając początek układu do położenia równowagi utożsamiamy współrzędną x z wychyleniem ξ. Zwrot siły wynika ze znaku pochodnej energii, co przedstawia wykres:

aproksymacja energii potencjalnej parabolą

W przypadku trójwymiarowym wychylenie x zastępujemy wektorem r :

wektor siły jako gradient energii potencjalnej

 

13.9 Równanie drgań

 

Siły zwrotne proporcjonalne do wychylenia noszą nazwę quasi – sprężystych. Równanie ruchu pod działaniem takiej siły otrzymujemy z drugiej zasady dynamiki:

równanie drgań druga zasada dynamiki

gdzie r jest wektorem położenia. W przypadku jednowymiarowym, np. ruchu wzdłuż osi x :

równanie ruchu w przypadku jednowymiarowym

albo, jeżeli oznaczymy dwiema kropeczkami pochodne drugiego rzędu względem czasu:

równanie ruchu w przypadku jednowymiarowym - inny zapis

Dzieląc przez masę i przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę otrzymujemy:

równanie drgań

Jest to typowa postać równania drgań. Oba wyrazy mają sens przyspieszeń. Aby rozwiązać to równanie najwygodniej jest uniezależnić się od czasu t. Aby to osiągnąć dokonajmy następującego przekształcenia:

inny zapis drugiej pochodnej wychylenia po czasie

i równanie ruchu otrzymuje postać:

równanie ruchu

Następnie dokonujemy rozdzielenia zmiennych υ i x:

równanie ruchu

i po bezpośrednim całkowaniu otrzymujemy:

równanie ruchu po scałkowaniu

C jest stałą zależną od warunków brzegowych. Zauważmy, że po pomnożeniu obu stron przez m prowadzi to do zasady zachowania energii:

zasada zachowania energii

Stała C jest więc proporcjonalna do całkowitej energii mechanicznej E0 oscylatora. Ale wróćmy do otrzymanego równania, które przedstawimy teraz w innej postaci:

równanie ruchu po scałkowaniu

Pierwiastek z tego wyrażenia to oczywiście prędkość:

prędkość w ruchu harmonicznym

Po wyciągnięciu przed nawias czynnika k/m otrzymujemy:

prędkość w ruchu harmonicznym

Otrzymujemy stąd równanie o rozdzielonych zmiennych:

równanie po rozdzieleniu zmiennych

następnie dokonujemy całkowania:

scałkowane równanie po rozdzieleniu zmiennych

Korzystając teraz z tablic matematycznych możemy obliczyć powyższą całkę korzystając z zależności:

wzór na całkę z tablic matematycznych

tak więc, mamy:

zależność otrzymana po zastosowaniu wzoru na całkę

czyli

rozwiązanie równania różniczkowego drgań harmonicznych

i w efekcie:

rozwiązanie równania różniczkowego drgań harmonicznych

Porównując je z torem ruchu harmonicznego :

rozwiązanie równania różniczkowego drgań harmonicznych prostych

bez trudu wyjaśnimy sens występujących w nim wielkości. Wyrażenie przed sinusem:

amplituda drgań

oznacza amplitudę. Współczynnik przy t w argumencie sinusa:

częstość kołowa - pulsacja

oznacza częstość kołową czyli pulsację, a D jest stałą fazową:

stała fazowa

Z częstości kołowej łatwo znajdziemy okres:

okres drgań

i częstość drgań:

częstotliwość drgań masy zawieszonej na sprężynie

Stałą C można wyrazić w funkcji pulsacji:

stała C

ale bardziej istotny jest związek maksymalnego wychylenia z całkowitą energią. Ponieważ:

kwadrat amplitudy

oraz:

całkowita energia mechaniczna

więc:

kwadrat amplitudy

albo:

Całkowita energia mechaniczna

Całkowita energia mechaniczna jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

Uzyskane przedtem równanie toru jest tak zwanym ogólnym rozwiązaniem równania ruchu. Wykorzystując wzór na sinus sumy kątów:

sinus sumy kątów - zależność trygonometryczna

otrzymujemy:

zastosowanie wzoru na sinus sumy

Podstawiając nowe stałe :

Stałe A i B

spełniają one związki:

własności spełniane przez stałe A i B

otrzymujemy:

rozwiązanie ogólne

Każda z funkcji cosωt i sinωt spełnia równanie drgań. Są to tak zwane rozwiązania szczególne. Przedstawione tutaj rozwiązanie ogólne jest ich liniową kombinacją.

 

13.10 Oscylator sprężysty

 

Siły sprężystości są wypadkową oddziaływań międzycząsteczkowych. Ich energię opisuje się zwykle wyrażeniem typu:

ogólne wyrażenie na energię potencjalną

gdzie r jest odległością między cząsteczkami, a wykładniki n i m, oraz A i B mają charakter empiryczny, przy czym n > m. Równie skomplikowana jest zależność siły od położenia:

ogólne wyrażenie na siłę sprężystości

Podobnie jak poprzednio w pobliżu położenia równowagi można aproksymować krzywą energii parabolą:

aproksymacja krzywej energii potencjalnej za pomocą paraboli

co jest równoznaczne z aproksymacją krzywej siły prostą:

aproksymacja siły za pomocą prostej

Tutaj Δr = r – r0 oznacza zmianę odległości między sąsiednimi cząsteczkami. Dla N cząsteczek leżących wzdłuż prostej jednorodne odkształcenia się sumują, dając w wyniku makroskopowe odkształcenie:

odkształcenie makroskopowe

związane z makroskopową siłą zależnością:

prawo Hooke'a

zwaną czasem prawem Hooke’a. Wyraża ono podstawową zasadę sprężystości: Siła sprężystości jest wprost proporcjonalna do odkształcenia i ma przeciwny zwrot, tzn. działa w stronę położenia równowagi. Jak widać siła sprężystości może być siłą zwrotną.

 

13.11 ciężarek na sprężynie

 

Najprostszym przykładem oscylatora sprężystego jest ciężarek na sprężynie. Załóżmy, że ciężarek jest cząstką (punktem materialnym) o masie m, a sprężyna jest nieważka. Niech nie obciążona sprężyna ma długość l0 (nazywamy ją długością swobodną ), a obciążona l. Przy niezbyt dużym obciążeniu mg wydłużenie sprężyny jest do niego proporcjonalne:

proporcjonalność wydłużenia sprężyny do ciężaru

Charakteryzujący sprężynę współczynnik sprężystości k można wyznaczyć jako stosunek obciążenia do wydłużenia:

współczynnik sprężystości

Obciążona sprężyna pozostaje w równowadze.

siła zwrotna powstająca podczas rozciągania sprężyny

Przy wychyleniu o x z położenia równowagi wydłużenie sprężyny wynosi: l – l0 + x, a związana z nim siła sprężystości jest równa: k(l – l0 + x), z czego k(l – l0) równoważy ciężar mg. Pozostaje różnica sił:

proporcjonalność siły F do wychylenia x

która jest wprost proporcjonalna i przeciwnie skierowana do wychylenia, działająca jako siła zwrotna. Równaniem ruchu jest oczywiście:

równanie ruchu drgającego dla sprężyny

albo po podstawieniu k/m = ω2

ogólna postać różniczkowego równania ruchu drgającego prostego

Jego rozwiązaniem jest :

rozwiązanie różniczkowego równania ruchu drgającego prostego

Ciężarek wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie xm, częstości kołowej ω i okresie:

okres drgań harmonicznych ciężarka zawieszonego na sprężynie

Słuszność wzoru na okres można sprawdzić doświadczalnie, obciążając sprężyny o różnym k różnymi ciężarkami. Sprężynę o dużej stałej sprężystości, czyli taką, którą trudno odkształcić, nazywamy potocznie twardą, natomiast sprężynę o małym k (łatwo odkształcalną) – miękką. Ten sam ciężarek zawieszony na twardej sprężynie drga szybciej (z mniejszym okresem) niż na miękkiej. Zwiększanie masy wydłuża okres, czyli zwalnia drgania.

 

13.12 Prawo Hooke’a

 

Wprowadzimy teraz prawo Hooke’a w bardziej ogólnej postaci. Doświadczalnie można stwierdzić, że odkształcenie ciała, na które działają siły, zależy od wielkości siły i rozmiarów ciała. Rozróżniamy odkształcenie objętościowe, czyli zmiany objętości:

zmiana objętości

gdzie V0 jest objętością pierwotną, a V – objętością ciała odkształconego – np. przy ściskaniu, oraz odkształcenie liniowe albo wydłużenie :

wydłużenie

równoznaczne ze zmianą długości. Dzieląc odkształcenie przez objętośc pierwotną czy długość pierwotną otrzymujemy odkształcenie względne objętościowe:

odkształcenie względne objętościowe

lub liniowe:

odkształcenie względne liniowe

(indeks 0 często się pomija). Zamiast siły wygodnie jest wprowadzić jej stosunek do powierzchni, zwany naprężeniem :

naprężenie

Naprężenie mierzymy w jednostkach ciśnienia. Z doświadczenia wynika, że przy niezbyt dużych naprężeniach odkształcenie względne jest proporcjonalne do naprężenia:

proporcjonalność względnej zmiany objętości do naprężenia

K nosi nazwę modułu ściśliwości. Częściej używa się jego odwrotności:

modułem sprężystości postaciowej

zwanej modułem sprężystości postaciowej. Stąd:

proporcjonalność względnej zmiany objętości do naprężenia

Podobnie wydłużenie względne jest proporcjonalne do naprężenia:

typowa postać prawa Hooke'a

i taka jest typowa postać prawa Hooke’a. Stałą E nazywamy modułem sprężystości liniowej (podłużnej) albo modułem Younga. Zarówno B jak E mierzymy w N/m2 (paskalach), czyli w jednostkach ciśnienia.

prawo Hooke'a

Im większy moduł Younga E tym większe nachylenie prostej (mniejsze odkształcenie ε przy tym samym naprężeniu σ). Przy dużych naprężeniach ciała rzeczywiste odbiegają od prawa Hooke’a.

W omówionych tutaj przypadkach siły działały prostopadle do powierzchni (przy odkształceniu objętościowym) lub osiowo (przy wydłużeniu). Istnieje jeszcze trzecia możliwość: kiedy siły działają stycznie do powierzchni. Taki stan nazywamy ścinaniem, a stosunek siły ścinającej do powierzchni naprężeniem ścinającym. Pod jego wpływem następuje odkształcenie, którego miarą jest kąt α odchylenia ścianek (i osi) prostopadłych do powierzchni, na którą działa siła. W tym przypadku prawo Hooke’a przyjmuje postać:

kąt alfa odchylenia ścianek

Na poniższych rysunkach przedstawiono różne rodzaje odkształceń:

rodzaje odkształceń

a) odkształcenie objętościowe przy wszechstronnym ściskaniu.

b) wydłużenie i kontrakcja przy osiowym rozciąganiu.

c) odchylenie ścianek przy ścinaniu

G nosi nazwę modułu ścinania lub modułu sztywności. W praktyce trudno jest oddzielić omówione przypadki od siebie. Żadnego z nich nie można zrealizować w czystej postaci. Na przykład wydłużeniu Δl/l pręta rozciąganego siłą osiową, towarzyszy odkształcenie poprzeczne – w ty przypadku zwężenie, którego miarą może być względna zmiana średnicy lub promienia Δr/r. Stosunek obu odkształceń

współczynnikiem Poissona

nazywamy współczynnikiem Poissona. Jest on ważną wielkością charakteryzującą materiał. Jego wartość wiąże się z wartościami modułów objętościowego i Younga:

zależność współczynnika Poissona od modułu Younga i modułu sprężystości postaciowej

Dla wszystkich ciał E i B mają ten sam rząd wielkości, a stosunek E/3B jest zawsze mniejszy od jedności. Wynika stąd, że współczynnik Poissona jest zawsze mniejszy od 0,5.

Często przydaje się też związek między modułem sztywności a modułem Younga:

związek między modułem sztywności a modułem Younga

 

13.13 Ciężarek na pręcie

 

Kolejnym modelem oscylatora może być punktowy ciężarek umieszczony na końcu wbitego w nieruchomą ścianę nieważkiego poziomego pręta o długości l. Strzałka ugięcia, czyli odchylenie swobodnego końca pręta od poziomu w wyniku działania na niego pionowej siły F wynosi:

wzór na wychylenie ciężarka na pręcie

ciężarek na pręcie

I jest tak zwanym powierzchniowym momentem bezwładności przekroju względem osi. Ze wzoru na ugięcie wynika, że:

siła działająca na ciężarek na pręcie

Stosując drugą zasadę dynamiki Newtona dochodzimy do równania ruchu w postaci:

równanie ruchu drgającego - przypadek ciężarka na pręcie

albo:

równanie ruchu drgającego - przypadek ciężarka na pręcie

jak widzimy jest to równanie drgań harmonicznych

rozwiązanie równania drgań dla przypadku ciężarka na pręcie

Czynnik występujący przy y w równaniu drgań harmonicznych to ω2, tak więc:

częstość kołowa - pulscja dla drgań ciężarka na pręcie

Czyli okres wynosi:

okres drgań ciężarka na pręcie

 

13.14 Wahadło matematyczne

 

Wahadłem matematycznym nazywamy cząstkę o masie m zawieszoną na nieważkiej i nierozciągliwej nici o dlugości l. Wychylenie nici o kąt φ powoduje powstanie momentu zwrotnego o wartości:

moment zwrotny - wahadło matematyczne

Moment bezwładności cząstki względem osi obrotu wynosi:

moment bezwładności punktu materialnego wahadła matematycznego

Korzystając teraz z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego możemy zapisać:

druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w przypadku wahadła matematycznego

Łącząc powyższe trzy wzory możemy zapisać:

druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w przypadku wahadła matematycznego

gdzie kropki nad φ oznaczają drugą pochodną po czasie – czyli przyspieszenie kątowe.

wahadło matematyczne

Minus wynika z faktu, że siła zwrotna jest przeciwnie zwrócona do wychylenia.

Dla dostatecznie małych wychyleń można przyjąć, że:

przybliżenie sinusa dla małych kątów fi

Wykorzystując tą zależność, otrzymujemy następujące równanie ruchu harmonicznego:

równanie ruchu harmonicznego dla wahadła matematycznego

Rozwiązaniem tego równania jest zależność:

rozwiązanie równania różniczkowego opisującego drgania wahadła matematycznego

o amplitudzie (kątowej) φm i częstości kołowej:

pulsacja dla wahadła matematycznego

a więc o okresie:

okres drgań wahadła matematycznego

 

13.15 Wahadło fizyczne

 

W rzeczywistości ciężarki nie są punktowe i nie ma nieważkich i nierozciągliwych nici. Rzeczywiste wahadło jest po prostu zawieszoną obrotową bryłą. Jedyne założenie, jakie przyjmiemy to to, że bryłę będziemy uważali za sztywną. Przy wychyleniu osi łączącej środek ciężkości z osią obrotu o kąt φ powstaje moment zwrotny o wartości:

wahadło fizyczne

moment zwrotny - wahadło fizyczne

Korzystając z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego możemy napisać:

druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego zastosowana dla wahadła fizycznego

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego zastosowana dla wahadła fizycznego

gdzie I jest momentem bezwładności względem osi obrotu., a r – promieniem ruchu środka ciężkości. Dla małych wychyleń:

przybliżenie fi dla małych kątów

co prowadzi do równania ruchu:

różniczkowe równanie ruchu dla wahadła fizycznego

jego rozwiązaniem jest:

rozwiązanie równania różniczkowego opisującego drgania wahadła fizycznego

Mamy więc do czynienia z drganiami (wahaniami) harmonicznymi. Częstość kołowa wynosi:

pulsacja wahadła fizycznego

a okres:

okres drgań wahadła fizycznego

Wahadło waha się tym wolniej, im większy jest moment bezwładności i mniejsza odległość środka ciężkości od osi obrotu.

 

13.16 Wahadło torsyjne

 

Wahadłem torsyjnym nazywamy tarczę (płaski walec) zawieszoną na drucie. którego drugi koniec jest nieruchomy. Przy obrocie o kąt φ powstaje proporcjonalny do niego moment zwrotny M :

moment zwrotny wahadła torsyjnego

wahadło torsyjne

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:

druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

możemy zapisać:

różniczkowe równanie drgań dla wahadła torsyjnego

(minus wynika z tego, że siła zwrotna jest przeciwnie skierowana do skręcenia.)

albo:

różniczkowe równanie drgań dla wahadła torsyjnego

Rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest oczywiście zależność:

rozwiązanie równania różniczkowego opisującego drgania wahadła torsyjnego

o częstości kołowej:

częstość kołowa wahadła torsyjnego

i okresie:

okres drgań wahadła torsyjnego

 

13.17 Energia w ruchu harmonicznym

 

Drganiom oscylatora towarzyszom przemiany energii. Z wychyleniem x związana jest energia potencjalna. :

energia potencjalna w ruchu harmonicznym

W oscylatorze sprężystym jest ona energią odkształcenia sprężystego, czyli energią sprężystą. Biorąc pod uwagę zależność:

proporcjonalność siły do wychylenia

można ją także wyrazić jako:

energia potencjalna w ruchu sprężystym

gdzie kreseczka nad literą F oznacza średnią wartość siły.

Ze względu, że :

wychylenie jako stosunek siły do współczynnika sprężystości

możliwa jest jeszcze jedna postać wzoru na energię sprężystą:

energia potencjalna sprężystości

W czasie ruchu drgającego wychylenie i siła zmieniają się okresowo, a energia potencjalna zmienia się wraz z ich kwadratem.

Ciało drgające ma także energię kinetyczną:

energia kinetyczna w ruchu harmonicznym

która zmienia się okresowo wraz z kwadratem prędkości. Okres zmian obu postaci energii nie jest więc taki, jak wychylenia czy prędkości, tylko taki, jak ich kwadratów.

W układach zachowawczych (albo konserwatywnych) suma energii potencjalnej i kinetycznej zwana energią mechaniczną pozostaje stała. :

energia mechaniczna

czyli w przypadku oscylatora sprężystego:

stałość energii mechanicznej

Podnosząc do kwadratu wzór na wychylenie x, otrzymujemy:

kwadrat wychylenia

i mnożąc go przez 0,5k otrzymujemy energię potencjalną (zależną od czasu):

zależność energii potencjalnej od czasu

Podniesienie sinusa do kwadratu powoduje, że wszystkie wartości ujemne stają się dodatnie, a okres zmienności staje się dwa razy mniejszy. Wynika to również ze wzoru :

kwadrat sinusa - wzór trygonometryczny

Podstawiając teraz do wyprowadzonego wzoru na Ep :

współczynnik k

otrzymujemy:

zależność energii potencjalnej od czasu

Prędkość w ruchu harmonicznym znajdziemy jako pochodną wychylenia względem czasu:

prędkość jako pochodna wychylenia względem czasu

Podnosząc ją do kwadratu i mnożąc przez połowę masy otrzymujemy energię kinetyczną:

zależność energii kinetycznej od czasu

Suma obu postaci energii wynosi:

suma energii potencjalnej i kinetycznej

lub prościej:

suma energii potencjalnej i kinetycznej

Całkowita energia mechaniczna nie zmienia się w czasie. Jej wartość jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

energia w ruchu harmonicznym

Kwadrat maksymalnego wychylenia jest miarą całkowitej energii mechanicznej oscylatora. Jeżeli nie ma strat energii, amplituda drgań pozostaje stała w czasie drgań. Poszczególne postacie energii zmieniają się okresowo. Ze względu na stałość ich sumy ubytek jednej z nich oznacza wzrost drugiej i odwrotnie. Gdy energia potencjalna spada do zera, to energia kinetyczna osiąga maksimum, i odwrotnie.

 

13.18 Drgania elektryczne

 

Na okładkach kondensatora o pojemności C naładowanego do napięcia U znajduje się ładunek q, na jednej dodatni, na drugiej ujemny. Jak wiadomo:

ładunek elektryczny

Jeżeli zewrzemy okładki za pomocą przewodu (cewki) o indukcyjności L popłynie przezeń prąd o natężeniu:

natężenie prądu jako pochodna ładunku względem czasu

i po pewnym czasie napięcie na kondensatorze spadnie do zera. Ale przy przepływie prądu przez cewkę powstaje w niej siła elektromotoryczna samoindukcji :

siła elektromotoryczna samoindukcji

opóźniająca zanikanie prądu, który płynie dalej, i dopiero wtedy spada do zera, gdy kondensator naładuje się do napięcia -U, takiego samego jak na początku, ale o przeciwnej biegunowości. Następnie zaczyna płynąć prąd w przeciwnym kierunku, kondensator się rozładowuje, w cewce powstaje siła elektromotoryczna skierowana przeciwnie niż poprzednio, prąd przez to zanika wolniej i osiąga wartość zero gdy ładunki znajdują się znowu na okładkach kondensatora. Obwód osiąga stan wyjściowy i cały proces, zwany drganiami elektrycznymi powtarza się cyklicznie. Opisany obwód jest oscylatorem elektrycznym. Równanie drgań znajdziemy z II prawa Kirchhoffa.

elektryczny obwód drgający

drugie prawo Kirchhoffa

W każdej chwili napięcie na kondensatorze, czyli na końcówkach cewki jest równe sile elektromotorycznej samoindukcji. Ponieważ:

związek pomiędzy napięciem U a ładunkiem q

więc:

równanie różniczkowe drgań elektrycznych

albo

równanie różniczkowe drgań elektrycznych

Otrzymane równanie drgań jest formalnie takie samo, jak dla oscylatora sprężystego. Wychyleniu x odpowiada ładunek q. Rozwiązanie powyższego równania różniczkowego ma oczywiście postać:

rozwiązanie równania różniczkowego opisującego elektryczne drgania harmoniczne

gdzie qm jest amplitudą (maksymalną wartością) ładunku. Częstość kołowa wynosi:

częstość kołowa drgań elektrycznych

a okres drgań:

okres drgań elektrycznych

Okres drgań rośnie wraz z indukcyjnością cewki i pojemnością kondensatora.

W obwodzie drgającym nic się nie porusza (mechanicznie), nie ma wychylenia, zmienia się tylko ładunek na okładkach kondensatora. Odpowiednikiem siły zwrotnej, czyli czynnikiem zwrotnym jest siła elektromotoryczna indukcji. Widać to szczególnie wyraźnie jeżeli równanie drgań przedstawi się w postaci:

równanie różniczkowe drgań elektrycznych

Wartość siły elektromotorycznej indukcji jest wprost proporcjonalna do ładunku (odpowiednika wychylenia) ze znakiem minus. Mechanicznym odpowiednikiem tego równania jest:

równanie różniczkowe drgań mechanicznych

Widoczna jest też analogia między stałą sprężystą k a odwrotnością pojemności 1/C oraz między masą a indukcyjnością L wyrażającą bezwładność elektryczną.

Ważną właściwością drgających obwodów elektrycznych jest ich liniowość także przy dużych wartościach q.

 

13.19 Energia obwodu drgającego

 

Odpowiednikiem energii potencjalnej oscylatora sprężystego jest w obwodzie drgającym energia kondensatora (energia pola elektrycznego) :

energia pola elektrycznego

Jeżeli q odpowiada wychyleniu, to natężenie prądu i jest odpowiednikiem prędkości. Ponieważ odpowiednikiem masy jest indukcyjność L, to energię kinetyczną (magnetyczną) możemy wyrazić jako:

energia magnetyczna cewki (energia pola magnetycznego)

Jest to energia magnetyczna cewki (energia pola magnetycznego). Przy założonych warunkach początkowych (w chwili t=0 ładunek na kondensatorze jest maksymalny) w naszym przypadku ładunek kondensatora zmienia się zgodnie z równaniem:

rozwiązanie równania rózniczkowego drgań elektrycznych

Natężenie prądu w cewce:

natężenie prądu jako pochodna ładunku względem czasu

gdzie Im = ωqm jest amplitudą natężenia prądu.

Zastosowaliśmy tutaj wzór na pochodną funkcji trygonometrycznej:

pochodna funkcji cosinus

gdzie C jest dowolną stałą.

Podstawiając teraz wzory na q oraz na I do wzorów na Eel oraz Em otrzymujemy związki:

zależność od czasu energii elektrycznej i magnetycznej

Ale:

zależność pomiędzy indukcyjnością a pojemnością

Podstawiając powyższą zależność do Eel otrzymujemy:

zależność od czasu energii elektrycznej i magnetycznej

Suma obu postaci energii zwana jest energią elektromagnetyczną. Tak więc:

energia elektromagnetyczna

energia elektryczna i magnetyczna zależność od czasu

Korzystając z własności jedynki trygonometrycznej widzimy, że energia elektromagnetyczna jest stała w czasie:

stałość sumy energii elektrycznej i magnetycznej

Wartość tej stałej energii wynosi:

wartość stałej energii

i jest równa maksymalnej wartości każdej z obu postaci energii, które w czasie drgań przechodzą w siebie nawzajem.

 

13.20 Opis drgań za pomocą liczb zespolonych

 

Niekiedy bardzo wygodny jest opis drgań za pomocą wielkości zespolonych. Dla ilustracji wróćmy do równania jednowymiarowego ruchu drgającego wzdłuż osi x :

równanie różniczkowe jednowymiarowego oscylatora harmonicznego prostego

Poszukajmy rozwiązania w postaci:

wykładnicza postać rozwiązania równania różniczkowego drgań

oczywiście:

pierwsza i druga pochodna rozwiązania w postaci wykładniczej

Po podstawieniu do równania wyjściowego i skróceniu przez Aeλt otrzymujemy tak zwane równanie charakterystyczne:

równanie charakterystyczne

które ma dwa pierwiastki:

pierwiastki równania charakterystycznego

gdzie:

jednostka urojona

jest jednostką urojoną. Prowadzi to do zespolonej postaci rozwiązania równania ruchu drgającego:

zespolona postać rozwiązania równania ruchu drgającego

lub po zastosowaniu wzoru Eulera dla liczb zespolonych:

wzór Eulera

Otrzymany wynik jest sumą wyrazów rzeczywistych i urojonych :

wychylenie jako suma części rzeczywistej i urojonej

(w dalszym ciągu ograniczymy się do znaku plus)

Zarówno część rzeczywista:

część rzeczywista

jak i urojona:

część urojona

spełniają równanie wyjściowe czyli są rozwiązaniami szczególnymi.

 

13.21 Wektory fazowe

 

Liczbę zespoloną w postaci:

wykładnicza postać liczby zespolonej

interpretujemy geometrycznie jako wektor r którego rzuta na oś rzeczywistą wynosi:

rzut wektora r na oś rzeczywistą

a na oś urojoną:

rzut wektora r na oś urojoną

płaszczyzna zespolona

Moduł wektora r wynosi :

moduł wektora r

a faza :

faza liczby zespolonej

Jeżeli kąt φ zależy od czasu, na przykład jest do niego proporcjonalny, to:

liczba zespolona w postaci wykładniczej

to wektor przedstawiający liczbę zespoloną wiruje z prędkością kątową w tym przypadku w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:

wirujący wektor fazowy

Z uwagi na to, że :

liczba zespolona - postać wykładnicza i trygonometryczna

taki wektor przedstawia zarazem drgania harmoniczne o amplitudzie r i częstości kołowej ω. Koniec wektora zakreśla okrąg, a jego rzuty na osie poruszają się ruchem harmonicznym prostym:

część rzeczywista i urojona liczby zespolonej

Wektor o długości równej amplitudzie drgań, nachylony do osi (rzeczywistej) pod kątem równym fazie, nazywamy wektorem fazowym albo fazorem. Ruch harmoniczny oznacza wirowanie fazorów.

 

13.22 Obroty fazorów

 

Mnożąc liczbę zespoloną z przez jednostkę urojoną:

pierwiastek z minus jeden - jednostka urojona

otrzymujemy:

iloczyn jednostki urojonej i liczby zespolonej

stąd:

iloczyn jednostki urojinej i liczby zespolonej w postaci wykładniczej

stosując trygonometryczne wzory redukcyjne to znaczy:

trygonometryczny wzór redukcyjny minus sinus

oraz:

trygonometryczny wzór redukcyjny cosinus

Tak więc mamy:

jednostka urojona razy z

Wektor reprezentujący otrzymaną lczbę zespoloną jest nachylony do osi rzeczywistej pod kątem φ + π/2. Mnożenie przez j oznacza zatem obrócenie wektora r o kąt prosty w lewo (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Podobnie podzielenie przez j, czyli pomnożenie przez -j:

odwrotność jednostki urojonej

interpretujemy jako obrót o kąt prosty w prawo. Podobne wyniki daje różniczkowanie i całkowanie.

obrót fazora

Pochodna liczby zespolonej (względem czasu):

różniczkowanie (obliczanie pochodnej) liczby zespolonej

Jeżeli, tak jak w ruchu harmonicznym to znaczy:

zależność kąta od czasu

to:

różniczkowanie (obliczanie pochodnej) liczby zespolonej

co oznacza pomnożenie wektora r przez ω i obrót o π/2 w lewo. Powtórne różniczkowanie :

druga pochodna liczby zespolonej względem czasu

daje w wyniku wektor ω2 większy i obrócony o π, czyli przeciwnie skierowany do z. Mamy tu wygodny opis przyspieszenia skierowanego przeciwnie do wychylenia:

druga pochodna liczby zespolonej względem czasu

Przy całkowaniu efekt jest odwrotny:

całkowanie liczb zespolonych

Otrzymany wektor amplitudy jest ω razy mniejszy i obrócony o π/2 w prawo.

Poniższy rysunek ilustruje różniczkowanie i całkowanie liczb zespolonych.

różniczkowanie i całkowanie liczb zespolonych

 

13.23 Drgania złożone – zasada superpozycji

 

Dotychczas rozpatrywaliśmy drgania proste i jednowymiarowe to znaczy zachodzące równolegle do jednej z osi układu lub ogólniej drgania o jednym stopniu swobody, czyli takie, w których do jednoznacznego określenia położenia wystarczyła jedna współrzędna. W następnych rozdziałach zajmiemy się drganiami złożonymi jedno- i wielowymiarowymi.

Łącząc ze sobą różne oscylatory albo „obciążając” dany oscylator różnymi siłami, otrzymujemy w wyniku drgania, które są wypadkową drgań wszystkich układów i od wszystkich sił liczonych osobno. Wychylenie w danej chwili jest sumą wychyleń każdego elementu układu wywołanych przez każdy czynnik osobno, oczywiście z uwzględnieniem aktualnych faz. Jest to tak zwana zasada superpozycji. Opiera się ona na liniowym związku między wychyleniem a siłą, leżącym u podstaw wszelkich ruchów harmonicznych i wynikającej stąd liniowości równań ruchu. Matematycznie można sformułować zasadę superpozycji następująco: Jeżeli funkcjie f1 i f2 spełniają równanie ruchu, to spełnia je także ich liniowa kombinacja:

liniowa kombinacja funkcji f1 i f2

gdzie A i B są stałymi dowolnymi. Na przykład jeżeli rozwiązanie równania ruchu harmonicznego ma postać:

rozwiązanie różniczkowego równania drgań harmonicznych prostych

to suma:

superpozycja fal

również spełnia to równanie.

 

13.24 Drgania złożone – składanie drgań

 

W najprostszym przypadku dodawane drgania mają tę samą częstość i różne amplitudy. Ograniczymy się do dwóch drgań w tym samym kierunku różniące się w fazie o ϑ.

drgania składowe

Dodawanie można przeprowadzić algebraicznie:

suma drgań

Po wyłączeniu czynnika sinωt przed nawias otrzymujemy:

suma drgań - przekształcony wzór

następnie mnożymy i dzielimy otrzymane wyrażenie przez :

pierwiastek wyrażenia

otrzymując :

suma pomnożona i podzielona przez pierwiastek

oznaczmy:

oznaczenie stałej przez cosinus fi

oznaczenie stałej przez sinus fi

Łatwo się przekonać, że spełniony jest warunek na jedynkę trygonometryczną.

Teraz nasze wyrażenie na x przybiera następującą postać:

inny zapis sumy

Oznaczając amplitudę A jako:

amplituda drgań

Z trygonometrii wiemy, że:

sinus sumy kątów

Łącząc trzy powyższe wzory otrzymujemy:

wypadkowe wychylenie

stała fazowa wynosi:

stała fazowa

Wynik dodawania dwóch drgań zależy od różnicy faz drgań składowych. Dla ϑ =0 , 2π, 4π itd. amplituda wypadkowa przybiera największą wartość (wzmocnienie drgań).

maksymalna wartość amplitudy wypadkowej

a dla ϑ = π, 3π, 5π itd. amplituda wypadkowa przybiera wartość najmniejszą (osłabienie drgań):

minimalna wartość amplitudy wypadkowej

W skrajnym przypadku (dla A1 =A2 = A ) mamy:

skrajne wartości amplitudy minimalnej i maksymalnej

 

13.25 Drgania złożone – dodawanie fazorów

 

dodawanie fazorów

Wynik superpozycji można interpretować geometryczniejakom sumę wektorów fazowych o amplitudach (długościach) A1 i A2 nachylonych do siebie pod kątem ϑ i wirujących w płaszczyźnie, w której się znajdują z prędkością kątową ω. Wartość sumy A jest równa długości przekątnej równoległoboku utworzonego przez wektory A1 i A2, a jej kąt nachylenia do wektora A1 wynosi φ. Dodawanie fazorów jest szczególnie wygodne przy składaniu większej liczby – np. N drgań o tej samej amplitudzie ΔA i stałej różnicy faz Δϑ. Otrzymujemy wówczas ciąg łamanych linii, a w granicy Δϑ→0 łuk koła. Ze wzrostem liczby drgań amplituda wypadkowa A rośnie i maleje cyklicznie przechodząc przez zero, gdy :

warunek dodawania fazorów

gdzie :

n – liczba całkowita

Jeżeli:

drugi warunek dodawania fazorów

oraz

kąt theta dąży do zera

możemy długość linii łamanej utożsamiać z długością łuku:

kąt całkowity odchylenia przez fazory

Stąd promień koła:

promień koła

superpozycja fazorów

Wypadkowa A jest długością cięciwy:

długość fazora wypadkowego

Podstawiając do powyższego równania:

kąt odchylenia

otrzymujemy:

Wypadkowy fazor

 

13.26 Drgania złożone – dudnienia

 

Jeżeli drgania składowe różnią się amplitudami, częstościami i fazami:

drgania składowe

to wynik dodawania:

suma drgań

będzie bardziej skomplikowany. Przekształcając argument:

przekształcony argument

i podstawiając do wzoru na sumę wychyleń, otrzymujemy:

wychylenie wypadkowe

co można doprowadzić do postaci:

inna postać wychylenia wypadkowego

Stałe A i φ znajdziemy, rozwijając powyższe dwa wyrażenia:

suma wychyleń - inny zapis

oraz:

suma

Skorzystaliśmy tu z faktu, że:

sinus różnicy kątów

i porównując współczynniki przy sin ω1t i cos ω1t :

współczynniki

Podnosząc obie równości do kwadratu, sumując je i korzystając z własności jedynki trygonometrycznej otrzymujemy wzór na amplitudę drgań wypadkowych która zależna jest od czasu:

zależna od czasu amplituda drgań wypadkowych

i zmienia się od wartości A1+A2 , gdy cosinus pod pierwiastkiem jest równy 1, do A1-A2 gdy cosinus pod pierwiastkiem jest równy -1. Okres zmienności wynosi:

okres zmienności amplitudy

a częstość :

częstość zmian amplitudy

Jeżeli częstości obu drgań leżą w zakresie słyszalności, wprawne ucho słyszy tzw. ton kombinacyjny o częstości ν, który przy małej różnicy częstości (poniżej 16 Hz) przechodzi w rytmiczne powtarzanie się maksimów amplitudy, zwane dudnieniami. ν nazywamy wtedy częstością dudnień :

częstość dudnień

dudnienia

oczywiście :

okres dudnień

Dudnienia ułatwiają porównanie częstości dwóch oscylatorów (na przykład )