Całki ruchu – JR

Całki ruchu

6.1 Wiadomości wstępne
6.2 Dowód istnienia całek ruchu
6.3 Całka pędu
6.4 Całka momentu pędu
6.5 Całka energii
6.6 Położenia równowagi

6.1 Wiadomości wstępne

Prawa zachowania są tzw. całkami ruchu. Równanie ruchu

równanie ruchu(6.1)

jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Jego rozwiązanie zawiera dwie stałe wektorowe, np. r0 i v0, które wyznaczamy z warunków brzegowych – najczęściej początkowych. Każda stała wektorowa jest równoważna trzem stałym skalarnym, np. w układzie kartezjańskim x0, y0, z0, v0x, v0y, v0z. W sumie rozwiązanie równania ruchu cząstki w postaci

rozwiązanie równania ruchu(6.2)

lub

rozwiązanie równania ruchu - prędkość(6.3)

zawiera sześć stałych.

Położenie i prędkość cząstki zależą od czasu. Istnieją jednak takie wielkości, będące funkcjami położenia i prędkości, które w czasie ruchu zachowują stałą wartość, zależną tylko od warunków brzegowych. Wielkości te nazywamy całkami ruchu.

6.2 Dowód istnienia całek ruchu

 

Konieczność istnienia całek ruchu wynika z następującego rozumowania. Załóżmy, że znamy ogólne rozwiązanie równania ruchu cząstki w postaci układu równań

układ równań(6.4)

gdzie C1,…,C6 oznacza 6 stałych dowolnych. Rozpisując obydwa równania wektorowe na składowe położenia i prędkości w wybranym układzie współrzędnych otrzymujemy 6 równań skalarnych, z których można wyznaczyć 6 stałych jako funkcje położenia, prędkości i czasu.

stałe(6.5)

Ale wartości stałych można ustalić z warunków początkowych

stałe z warunków początkowych(6.6)

Stąd dla każdej stałej

stałe(6.7)

A więc istnieją funkcje położenia, prędkości i czasu, które w czasie ruchu zachowują stałą wartość, określoną przez warunki brzegowe. Stałe Ci są całkami ruchu.

Spośród różnych możliwych całek ruchu tylko niektóre mają znaczenie w mechanice. Są nimi przede wszystkim pęd, moment pędu i energia. Są to tzw. pierwsze całki ruchu, czyli całki zależne jawnie od prędkości. Trzy składowe pędu, trzy składowe momentu pędu i energia cząstki tworzą razem siedem pierwszych całek ruchu.

6.3 Całka pędu

 

Przyjrzyjmy się teraz w jaki sposób prawa zachowania upraszczają rozwiązanie równań ruchu. Prawo zachowania pędu możemy wykorzystać, kiedy działające siły są stałe albo zależą tylko od czasu i gdy szukamy jednej z następujących wielkości: siła F, czas t, prędkość początkowa v0 czy chwilowa v, przy czym pozostałe znamy. Prawo to szczególnie dobrze nadaje się do zagadnienia ruchu ciał o zmiennej masie i ciał zderzających się.

Przykład: Hamowanie sputnika przez pył kosmiczny. Pojazd poruszający się swobodnie w przestrzeni kosmicznej porywa nieruchomy pył, który się tam znajduje, przy czym masa pojazdu wzrasta proporcjonalnie do prędkości, tzn.

pochodna masy względem czasu(6.8)

Prawo zachowania pędu napiszemy w postaci

zasada zachowania pędu(6.9)

Stąd

pochodna prędkości względem czasu(6.10)

gdzie v0 jest wektorem jednostkowym o kierunku prędkości.

Ruch pojazdu będzie więc opóźniony z opóźnieniem wprost proporcjonalnym do kwadratu prędkości. Powyższe równanie przedstawia związek między prędkością a czasem.

6.4 Całka momentu pędu

 

Prawo zachowania momentu pędu dostarcza związku między prędkością a położeniem. Korzystamy z niego, gdy działają siły o momencie stałym albo zależnym tylko od czasu i gdy szukamy momentu siły M, czasu t, początkowej lub chwilowej prędkości kątowej ω0, ω, a pozostałe z wymienionych wielkości są znane. Prawo to szczególnie się przydaje przy rozwiązywaniu zagadnień ruchu pod wpływem sił centralnych i w ogóle sił o momencie równym zeru.

Przykład: Wirujący ciężarek. Ciężarek zawieszony na nitce, której koniec przechodzi przez pionową rurkę, wprawiamy w ruch dookoła rurki z prędkością v0, a następnie zmniejszamy promień obrotu wciągając nitkę do rurki.

ciężarek(Rys. 6.1)

Jaka będzie prędkość v, gdy promień zmaleje z r0 do r? Jak łatwo zauważyć, na kulkę działa tylko siła ciężkości i siła naciągu nici. Wypadkowa tych sił – siła dośrodkowa – przecina oś obrotu, więc jej moment będzie równy zeru. Zatem

zasada zachowania momentu pędu(6.11)

Jego bezwzględna wartość wynosi

moment pędu(6.12)

i stąd

prędkość(6.13)

W miarę przybliżania się ciężarka do osi jego prędkość rośnie. Energia kinetyczna wzrasta przy tym z

początkowa energia kinetyczna(6.14)

do

końcowa energia kinetyczna(6.15)

Ciągnąc nić z siłą F , musimy wykonać pracę

praca(6.16)

gdzie r-r0 oznacza przesunięcie nici. Można stąd obliczyć siłę F konieczną do jednostajnego ciągnięcia nici.

6.5 Całka energii

 

Prawo zachowania energii wykorzystujemy, kiedy działają siły stałe albo siły zależne tylko od położenia i kiedy szukamy jednej z następujących wielkości: siła, droga, prędkość początkowa i chwilowa (F, s, v0, v), przy czym pozostałe są dane. Dostarcza nam ono związku między prędkością a położeniem. Całkując go możemy dojść do równania toru prostszą drogą z pominięciem całkowania równań ruchu. Na przykład, jeżeli znamy zależność energii potencjalnej od położenia, czyli pole Ep(r) i wiemy, że działają tylko siły zachowawcze, to z prawa zachowania energii

zasada zachowania energii(6.17)

możemy łatwo znaleźć prędkość w funkcji położenia

prędkość w funkcji położenia(6.18)

a stąd przez całkowanie związku

różniczka czasu(6.19)

dojść do równania toru

równanie toru(6.20)

Przykład: Rzut pionowy. W przypadku rzutu w górę osi z przy poziomie odniesienia tak dobranym, żeby dla z = 0 Ep = 0 mamy

energia(6.21)

Stąd

prędkość(6.22)

W chwili początkowej v = v0 i

energia początkowa(6.23)

Wobec tego

prędkość w funkcji współrzędnej z(6.24)

Aby prędkość miała wartość rzeczywistą musi być

warunek(6.25)

czyli

warunek(6.26)

Oznacza to, że

maksymalna wysokość rzutu(6.27)

jest maksymalną wysokością rzutu. Dla z = h v = 0 i E0 = mgh. Można więc napisać

prędkość w funkcji współrzędnej z(6.28)

Dla z = 0 otrzymamy stąd znany wzór na prędkość swobodnego spadku z wysokości h:

prędkość swobodnego spadku(6.29)
wykres - energia potencjalna(Rys. 6.2)

Przykład: Oscylator harmoniczny. W ruchu harmonicznym wzdłuż osi x

oscylator harmoniczny(6.30)

Stąd

oscylator harmoniczny - prędkość(6.31)

Powyższe równanie wystarczy do określenia rodzaju ruchu. Możliwe są tylko takie wychylenia x, dla których prędkość v jest rzeczywista, tzn.

warunek(6.32)

czyli

wartość bezwzględna(6.33)

albo

zależność(6.34)

Widać, że ruch zachodzi między dwoma punktami zwrotnymi. Maksymalne wychylenie

amplituda drgań(6.35)

nazywamy amplitudą. Podwojony czas przejścia między punktami zwrotnymi

okres drgań(6.36)

jest okresem drgań.

Jak wiele informacji o ruchu uzyskaliśmy ze zwykłej dyskusji prawa zachowania energii! Całkując związek

dt(6.37)

i zakładając, że dla t = t0 x = A, otrzymujemy

t(6.38)

czyli równanie toru

x(6.39)
energia w ruchu harmonicznym wykres(Rys. 6.3)
stała fazowa(Rys. 6.4)

przy czym

częstość kołowa(6.40)

jest częstością kołową, a

stała fazowa(6.41)

stałą fazową, czyli fazą początkową (dla t = 0 x = Acos φ). Widać tu związek między wartością stałej fazowej a chwilą, w której zaczynamy liczyć czas. Jeżeli zaczniemy rachubę czasu w chwili maksymalnego wychylenia to t0 = 0 i φ = 0. Jeżeli początek pomiaru czasu obierzemy w chwili gdy x = 0, to φ = –π/2 itd.

Stosując kolejno poszczególne prawa zachowania można rozwiązać zagadnienia bardziej skomplikowane. Właściwy wybór najbardziej przydatnej całki ruchu jest kwestią wprawy. Prawa zachowania nie dadzą się wykorzystać w przypadku sił zależnych od prędkości.

Przykład: Bariera potencjału. Może się zdarzyć, że w jakimś punkcie energia potencjalna zmienia się skokowo, zachowując w obszarach po obu stronach punktu różne, ale stałe (tzn. niezależne od położenia i czasu) wartości – powiedzmy Ep1 i Ep2. Taki skok energii nazywamy barierą potencjału, a różnicę obu energii – wysokością bariery. Przypuśćmy teraz, że cząstka o masie m porusza się z prędkością v1 w obszarze o energii Ep1 w stronę bariery. Jaka będzie prędkość cząstki w drugim obszarze? Ze względu na stałość energii potencjalnej po obu stronach bariery siła działa na cząstkę tylko w miejscu przejścia przez barierę. Siła jest skierowana prostopadle do płaszczyzny rozgraniczającej obszary. Wybierzmy tak układ współrzędnych kartezjańskich, żeby osie y i z leżały w płaszczyźnie granicznej, a oś x była do niej prostopadła. Do składowych vy i vz możemy zastosować prawo zachowania pędu, co przy stałej masie prowadzi do

stałość prędkości - bariera potencjału(6.42)
prostokątna bariera potencjału(Rys. 6.5)

Zależność między wartościami prędkości znajdziemy z prawa zachowania energii

zasada zachowania energii(6.43)

Stąd

bariera potencjału - prędkość(6.44)
bariera potencjału(Rys. 6.6)

Wiedząc, że zmienia się tylko składowa vx można także znaleźć cosinusy kierunkowe i określić zmianę kierunku prędkości

kosinus kierunkowy(6.45)
kosinus kierunkowy(6.46)
cosinus kierunkowy(6.47)

przy czym

kąty(6.48)

Dla

warunek(6.49)

cząstka przejdzie przez barierę, a dla

warunek na odbicie(6.50)

nastąpi odbicie.

6.6 Położenia równowagi

 

W miejscu gdzie energia jako funkcja położenia ma ekstremum, Ep(r) = min lub Ep(r) = max, jej gradient

zerowanie się gradientu(6.51)

i zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki, cząstka jest tam w równowadze – jeżeli była w spoczynku, będzie nadal spoczywała. Po obu stronach ekstremum gradient ma różny znak, co jest równoznaczne z różnymi kierunkami siły. Przy podchodzeniu do minimum od strony mniejszych r energia maleje więc jej gradient jest ujemny, a siła dodatnia. Po minięciu minimum energia rośnie, jej gradient staje się dodatni, a siła ujemna. Jak widać, po obu stronach minimum energii potencjalnej siła jest skierowana w stronę minimum. Wychyleniu cząstki z położenia, w którym jej energia potencjalna przechodzi przez miniumu, czyli z położenia równowagi, towarzyszy powstanie siły przeciwdziałającej wychyleniu.

równowaga trwała(Rys. 6.7)

Tego rodzaju równowagę nazywamy trwałą. Przy przechodzeniu przez położenie maksiumu energia początkowo rośnie, później maleje, więc jej gradient z dodatniego przechodzi w ujemny, a siła z ujemnej w dodatnią. Po obu stronach maksimum siła jest skierowana od niego na zewnątrz.

równowaga chwiejna(Rys. 6.8)

Wychyleniu cząstki z położenia maksimum energii potencjalnej towarzyszy powstanie siły zwiększającej wychylenie. Tego rodzaju równowagę nazywamy chwiejną. Wreszcie, jeżeli wykres energii w funkcji położenia jest poziomy, tzn. energia potencjalna od położenia nie zależy, przy wychyleniu cząstki z miejsca, w którym się znajduje nie powstają żadne siły (Ep = const, więc grad Ep = 0). Tego typu równowagę nazywamy obojętną. Modelem równowagi trwałej może być kulka w dołku , chwiejnej – kulka na wypukłości, a obojętnej – kulka na poziomym podłożu płaskim.

równowaga obojętna(Rys. 6.9)

Przykład: Równowaga molekuły. Energię potencjalną molekuły dwuatomowej można przedstawić w postaci potencjału Lennarda-Jonesa

potencjał Lennarda-Jonesa(6.52)
potencjał Lennarda-Jonesa(Rys. 6.10)

w którym r oznacza odległość między atomami, a i b są stałymi zależnymi od rodzaju atomów. Przy małych odległościach przeważa człon dodatni (odpychanie), przy dużych ujemny (przyciąganie). Położenie ekstremum r0 znajdziemy z równania

pochodna potencjału(6.53)

Stąd

położenie ekstremum(6.54)

Jest to położenie równowagi trwałej. Energia minimalna wynosi

minimum potencjału siły(6.55)

doprowadzenie energii

energia dysocjacji(6.56)

da w wyniku energię U = 0 odpowiadającą r = ∞, czyli spowoduje dysocjację molekuły.