Bryła Sztywna – JR

Bryła Sztywna

22.1 Wiadomości wstępne

22.2 Ruch postępowy i obrotowy

22.3 Energia kinetyczna bryły sztywnej
22.4 Moment bezwładności

22.5 Transformacja momentu bezwładności

22.6 Główne osie bezwładności

22.7 Moment pędu bryły

Wiadomości wstępne

Bryłą sztywną nazywamy układ cząstek o niezmiennych odległościach wzajemnych. Rzeczywiste ciała nie są doskonale sztywne ulegają złożonym odkształceniom, które jednak w wielu przypadkach są bardzo małe. Ponadto układ cząstek jest zbiorem nieciągłym, podczas gdy ciała rzeczywiste traktujemy makroskopowo jako ciągłe. Różnica w opisie matematycznym wyraża się w tym, że dla ciała ciągłego wyrażamy masy cząstek jako

dm(22.1)

gdzie

definicja gęstości(22.2)

jest gęstością ciała, a dV elementem objętości, i zastępujemy sumowanie całkowaniem po całej objętości ciała.

Jeżeli położenie cząstek opisujemy za pomocą wektorów ri czy rj to wektor

wektor(22.3)

łączący dwie cząstki wskazuje od cząstki j do i. Kwadrat tego wektora będzie równy kwadratowi odległości między cząstkami. Matematycznym zapisem założenia modelu bryły sztywnej będzie więc

warunek bryły sztywnej(22.4)
model bryły sztywnej(Rys. 22.1)

W układzie kartezjańskim warunek ten przybiera postać

warunek dla bryły sztywnej(22.5)

Prawa dynamiki bryły sztywnej wynikają z zastosowania tego warunku do prawa ruchu układu cząstek.

 

 

22.2 Ruch postępowy i obrotowy

 

 

 

Zróżniczkujmy równanie definiujące bryłę sztywną

po zróżniczkowaniu(22.6)

Powyższe równanie ma dwa rozwiązania

rozwiązanie 1(22.7)

albo

rozwiązanie 2(22.8)

Pierwsze z nich jest inną postacią warunku niezmiennych odległości między cząstkami, czyli nieodkształcalności bryły. Drugie oznacza, że możliwe są tylko takie elementarne przemieszczenia wzajemne cząstek, które są prostopadłe do wektorów łączących cząstki. Takie przemieszczenie nazywamy obrotem. Oznaczając wektor elementarnego obrotu przez dφ, otrzymujemy

elementarny wektor(22.9)

Całkowite przemieszczenie cząstki będzie sumą przemieszczenia wynikającego z równoleglego przesunięcia bryły jako całości i przemieszczenia związanego z obrotem.

przemieszczenie całkowite(Rys. 22.2)

Przy przesunięciu równoległym przemieszczenie wszystkich cząstek jest takie samo, można więc je oznaczyć jako drs przemieszczenie środka masy. Zatem przemieszczenie całkowite

przemieszczenie całkowite(22.10)

Dzieląc je przez dt, otrzymamy

prędkość(22.11)

Wyraz po lewej stronie jest prędkością vi cząstki, pochodna drs/dt = vs prędkością środka masy, a dφ/dt = ω prędkością kątową obrotu. Zatem

prędkość(22.12)
prędkość punktu bryły(Rys. 22.3)

Pozostawienie tej samej prędkości kątowej ω nie powinno dziwić. Jeżeli bryła sztywna obraca się o kąt dφ wokół jakiejś osi, to kąt obrotu jest dla całej bryły ten sam. Dzieląc go przez dt otrzymamy stałą dla całej bryły prędkość kątową ω.

Do opisu ruchu bryły stosujemy, jak widać dwa układy: laboratoryjny i poruszający się wraz z bryłą układ środka masy. Ruch bryły może składać się z przesunięcia równoległego bez obrotu zwanego ruchem postępowym zachodzącego z prędkością vs i ruchu obrotowego wokół dowolnej osi zachodzącego z prędkością kątową ω. Przy ω = 0 bryła porusza się tylko ruchem postępowym, a przy vs = 0 tylko ruchem obrotowym.

 

 

22.3 Energia kinetyczna bryły sztywnej

 

 

Energia kinetyczna układu jest sumą energii cząstek

energia kinetyczna bryły(22.13)

przy czym v0 jest jak uprzednio, prędkością punktu przez który przechodzi oś obrotu, a ri odległością danej cząstki od tego punktu, czyli wektorem położenia cząstki w układzie, którego ów punkt jest początkiem.

Podnieśmy do kwadratu wyrażenie w nawiasie

związek(22.14)

Zgodnie z prawem cyklicznej przemienności iloczynów mieszanych

prawo cyklicznej przemienności iloczynów mieszanych(22.15)

Kwadrat iloczynu wektorowego znajdziemy łatwo:

kwadrat iloczynu wektorowego(22.16)

Można więc zapisać energię kinetyczną w postaci

energia kinetyczna układu(22.17)

albo po wyłączeniu poza znak sumy wszystkich stałych czynników

energia kinetyczna układu(22.18)

Pierwszy wyraz po prawej stronie jest oczywiście energią kinetyczną ruchu postępowego bryły:

energia kinetyczna ruchu postępowego(22.19)

przy czym

masa bryły(22.20)

oznacza masę bryły, a prędkość v0 = v ruchu postępowego jest, jak pamiętamy, dla wszystkich punktów taka sama. Drugi wyraz nazywany czasem energią mieszaną, znika gdy początkiem układu jest środek masy. Wówczas bowiem

suma momentów statycznych(22.21)

(suma momentów statycznych względem środka masy jest równa zeru). Widać jeszcze raz korzyści ze stosowania układu środka masy. Ostatni wyraz jest wprost proporcjonalny do kwadratu prędkości kątowej:

energia kinetyczna ruchu obrotowego(22.22)

Współczynnik I nosi nazwę momentu bezwładności bryły (względem osi przechodzącej przez początek układu). Definicją momentu bezwładności będzie więc

definicja momentu bezwładności(22.23)

Wzór na energię kinetyczną bryły otrzymuje teraz postać

energia kinetyczna bryły(22.24)

Zauważmy, że gdy oś obrotu przechodzi przez środek masy, energia kinetyczna wynosi po prostu

energia kinetyczna(22.25)

a gdy prędkość ruchu postępowego v = 0

energia kinetyczna ruchu obrotowego(22.26)

Jest to energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym.

ruch walca(Rys. 22.4)

 

 

22.4 Moment bezwładności

 

 

Spróbujmy teraz wyjaśnić sens fizyczny momentu bezwładności. W tym celu rozpatrzmy bliżej składniki, z których sumowania powstał, czyli momenty bezwładności cząstek

moment bezwładności cząstki(22.27)

Zauważmy, że dla cząstek leżących na osi obrotu (ri||ω) sin(ω, ri) = 0, to znaczy cząstki te nie dają żadnego przyczynku do momentu bezwładności. Wektor położenia dowolnej cząstki można zawsze rozłożyć na dwa wektory, z których jeden jest równoległy, a drugi prostopadły do osi obrotu. Oczywiście

związek(22.28)

Stąd

moment bezwładności cząstki(22.29)

bowiem

sinusy(22.30)

ri jest po prostu odległością cząstki od osi obrotu.

Sumując po wszystkich cząstkach otrzymamy

definicja momentu bezwładności(22.31)

Moment bezwładności bryły względem jakiejś osi (to znaczy względem prostej) jest sumą iloczynów mas cząstek i kwadratów ich odległości od osi.

moment bezwładności bryły(Rys. 22.5)

Moment bezwładności bryły ciągłej znajdziemy, zastępując masy cząstek elementami masy ciała

element masy ciała(22.32)

W takim przypadku sumowanie zastępujemy całkowaniem po całej objętości ciała

moment bezwładności bryły ciągłej(22.33)

Rozróżniamy przy tym moment bezwładności względem punktu (r oznacza wówczas odległość od tego punktu) i względem prostej (r jest odległością od prostej).

moment bezwładności bryły ciągłej(Rys. 22.6)

Przykład: Moment bezwładności pręta. Pręt jest wydłużonym walcem. Określimy najpierw moment bezwładności względem osi podłużnej. Ze względu na symetrię najwygodniej jest wybrać element masy w postaci wydrążonego walca o odległości r od rozpatrywanej osi, grubości dr i wysokości h takiej samej jak walec. Objętość tego elementu

objętość elementu(22.34)

a masa

masa elementu(22.35)
moment bezwładności pręta(Rys. 22.7)

Całkowanie musimy poprowadzić po całej objętości, to znaczy od r = 0 do r = R (promień zewnętrzny). Stąd

moment bezwładności pręta(22.36)

gdzie m jest masą walca. Moment bezwładności walca pełnego jest więc dwa razy mniejszy niż cienkiej powłoki walcowej o tym samym promieniu.

Obliczmy teraz moment bezwładności tego samego walca względem osi poprzecznej, przechodzącej przez środek masy. Elementem masy będzie prostopadła do osi podłużnej warstwa o przekroku dx. Jeżeli pręt jest cienki, to możemy wszystkie punkty tej warstwy uważać za jednakowo odległe od osi. Niech ta odległość wynosi x.

moment bezwładności pręta względem osi poprzecznej(Rys. 22.8)

Wobec symetrii pręta wystarczy przeprowadzić całkowanie od x = 0 do x = h/2 i pomnożyć otrzymany wynik przez dwa

moment bezwładności pręta(22.37)

 

 

22.5 Transformacja momentu bezwładności

 

 

Często można uprościć obliczenie momentu bezwładności względem dowolnej osi I, jeżeli znamy moment bezwładności Is względem równoległej do niej osi przechodzącej przez środek masy. Niech odległość między osiami wynosi b. Wówczas dla każdej cząstki

związek(22.38)
twierdzenie Steinera(Rys. 22.9)

i stąd

wyprowadzenie twierdzenia Steinera(22.39)

Pierwsza suma jest po prostu momentem bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy:

moment bezwładności I'(22.40)

Łatwo wykazać, że drugi wyraz jest równy zeru:

zerowanie się drugiego wyrazu(22.41)

(suma momentów statycznych w układzie środka masy jest równa zeru). Wreszcie trzeci wyraz

trzeci wyraz(22.42)

jest iloczynem masy bryły i kwadratu odległości między osiami. Stąd

twierdzenie Steinera(22.43)

Otrzymany związek nosi nazwę twierdzenia Steinera.

Przykład: Moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec. Znamy już moment bezwładności pręta względem osi poprzecznej, przechodzącej przez środek masy:

moment bezwładności(22.44)

Zgodnie z prawem Steinera moment względem osi przesuniętej o h/2 wynosi

zastosowanie twierdzenia Steinera(22.45)
zastosowanie twierdzenia Steinera(Rys. 22.10)

 

 

22.6 Główne osie bezwładności

 

 

Dotychczas określaliśmy moment bezwładności względem jakiejś niesprecyzowanej bliżej osi obrotu. Jest oczywiste, że momenty bezwładności ciała względem osi związanych z ciałem, na przykład osi poruszającego się wraz z ciałem układu współrzędnych kartezjańskich będą dla danego kształtu ciała ściśle określone. Dla większości ciał istnieją osie, względem których moment bezwładności przybiera wartości ekstremalne. Nazywamy je głównymi osiami bezwładności, a odpowiadające im momenty głównymi momentami bezwładności. Trzecia oś główna ciał symetrycznych jest prostopadła do dwóch pozostałych.

Wróćmy teraz do wyrażenia na energię kinetyczną ruchu obrotowego w postaci

energia kinetyczna ruchu obrotowego(22.46)

W przypadku ciała ciągłego suma przejdzie w całkę

energia kinetyczna ruchu obrotowego(22.47)

Zaczepimy w środku masy bryły osie układu kartezjańskiego x, y, z. W ogólnym przypadku wektor prędkości kątowej ma składowe ωx, ωy, ωz.

kwadrat prędkości kątowej(22.48)

a wektor położenia x, y, z

kwadrat wektora położenia(22.49)

Przekształćmy teraz iloczyn wektorowy pod całką

związek(22.50)

Iloczyn skalarny można też wyrazić przez współrzędne

iloczyn skalarny(22.51)

Stąd

kwadrat iloczynu skalarnego(22.52)

Podstawiając to wszystko do wzoru na energię kinetyczną otrzymamy

energia kinetyczna w ruchu obrotowym(22.53)

albo grupując po wymnożeniu i redukcji według składowych prędkości kątowej

energia kinetyczna w ruchu obrotowym(22.54)

Przedstawiliśmy energię kinetyczną w postaci sumy iloczynów kwadratów (lub iloczynów) składowych prędkości kątowej i całek, stanowiących odpowiedniki składowych momentu bezwłądności. Wprowadzimy oznaczenia

momenty bezwładności(22.55)

Wyrażenia o jednakowych wskaźnikach Ixx, Iyy, Izzmomentami bezwładności względem osi x, y, z układu. Wielkości o wskaźnikach mieszanych Ixy, Ixz, Iyz nazywamy momentami zboczenia. Momenty bezwładności są zawsze dodatnie, momenty zboczenia mogą przybierać dowolne wartości.

W przypadku nieciągłego układu punktów całki zastępują odpowiednie sumy:

momenty bezwładności(22.56)

Jak widać, moment bezwładności ma bardzo interesującą i złożoną strukturę. Tego rodzaju wielkości opisujemy za pomocą tensorów. Wypadkowy moment bezwładności bryły jest tensorem, a momenty bezwładności względem osi i momenty zboczenia są jego składowymi.

Ostatecznie wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego otrzymuje postać

energia kinetyczna ruchu obrotowego(22.57)

Jeżeli jako osie układu współrzędnych przyjmiemy główne osie bezwładności, to momenty względem osi będą głównymi momentami bezwładności I1, I2, I3. W takim układzie znikają charakteryzujące asymetrię ciała momenty zboczenia i wzór na energię upraszcza się:

energia kinetyczna ruch obrotowy(22.58)

przy czym ω1, ω2, ω3 są prędkościami kątowymi obrotu wokół głównych osi bezwładności.

Wartości głównych momentów bezwładności zależą od kształtu ciała. Istnieją ciała, zwane bąkami kulistymi, których wszystkie trzy główne momenty bezwładności są sobie równe: I1 = I2 = I3. Wybór osi głównych jest w takim przypadku dowolny.

Poniżej przedstawiony jest przykład bąka kulistego

bąk kulisty(Rys. 22.11)

Elipsoida bezwładności jest tutaj kulą.

Bąk symetryczny ma jeden z głównych momentów bezwładności różny od pozostałych

bąk symetryczny(22.59)

Osiami głównymi mogą być dowolne dwie proste prostopadłe do siebie w płaszczyźnie prostopadłej do osi I oraz oś I1. Wreszcie jeżeli wszystkie momenty główne różnią się,

różne momenty bezwładności(22.60)

ciało nosi nazwę bąka niesymetrycznego.

Jak znaleźć główne osie bezwładności? Jeżeli ciało ma oś symetrii, to będzie ona jedną z osi głównych. Jeżeli ciało ma płaszczyznę symetrii, to dwie osie główne będą leżały w tej płaszczyźnie. W szczególności dla układu cząstek leżącego w płaszczyźnie x, y (tzn. z = 0) moment względem osi prostopadłej do płaszczyzny będzie sumą dwóch pozostałych:

moment bezwładności(22.61)
układ płaski(Rys. 22.12)

Jeszcze prostszy niż układ płaski jest układ liniowy, czyli rotator. Cząstki rozmieszczone są w nim wzdłuż lini prostej (np. x = y = 0), moment względem tej osi znika, a dwa pozostałe momenty główne są sobie równe:

momenty bezwładności rotator(22.62)
rotator(Rys. 22.13)

Zauważmy jeszcze, że w przypadku bąka niesymetrycznego żaden z głównych momentów nie może być większy niż suma dwóch pozostałych. Niech

założenia(22.63)

Wtedy

związki(22.64)

i stąd

związek(22.65)

Znak równości odnosi się do przypadku zi = 0 (układ płaski).

Przykład: Główne momenty bezwładności cząsteczki dwuatomowej.

Jeśli masy atomów wynoszą m1 i m2, a odległość między nimi jest równa l, to moment bezwładności względem osi prostopadłej do osi cząsteczki przeprowadzonej przez środek masy będzie równy

moment bezwładności cząsteczki dwuatomowej(22.66)

gdzie μ jest masą zredukowaną. Trzeci główny moment bezwładności I3 = 0.

główne momenty bezwładności molekuły dwuatomowej(Rys. 22.14)

 

 

22.7 Moment pędu bryły

 

 

Moment pędu względem środka masy jest równy

moment pędu bryły sztywnej(22.67)

W dalszym ciągu będziemy pomijali kreski przy przy ri. W przypadku bryły ciągłej

całkowy wzór na moment pędu bryły(22.68)

Podwójny iloczyn wektorowy da się przedstawić w postaci

podwójny iloczyn wektorowy(22.69)

Po wstawieniu do poprzedniego związku i rozpisaniu na składowe w kartezjańskim układzie współrzędnych mamy

składowa momentu pędu(22.70)

Podobnie obliczymy pozostałe składowe

składowa momentu pędu(22.71)
składowa momentu pędu bryły(22.72)

Czynniki całkowe są składowymi tensora bezwładności. Zatem

składowe momentu pędu(22.73)

Jak widać, w ogólnym przypadku wektor momentu pędu nie jest równoległy do wektora prędkości kątowej ω (tzn. do osi obrotu). Gdy za osie współrzędnych przyjmiemy główne osie bezwładności, to znikają momenty zboczeń i możemy zapisać

składowe momentu bezwładności(22.74)

Tylko przy obrocie dookoła którejś z głównych osi wektory momentu pędu i prędkości kątowej będą miały ten sam kierunek. Jedynie w przypadku bąka kulistego (Ixx = Iyy = Izz) możemy napisać dla dowolnej osi obrotu

moment pędu(22.75)

analogicznie jak dla pojedynczej cząstki.

Przykład: Wirujące hantle. Niech pręt o długości l z osadzonymi na końcach ciężarkami mA i mB nachylony pod kątem α do osi x wiruje dookoła niej z prędkością kątową ωx = ω. Początek układu umieścimy w środku masy. Jeżeli w danej chwili pręt leży w płaszczyźnie xy (z = 0), to ωy = ωz = 0 i moment pędu ma składowe

składowe momentu pędu(22.76)
wirujące hantle(Rys. 22.15)

Masa mA jest oddalona od środka masy o

odległość(22.77)

a masa mB o

odległość(22.78)

W danej chwili kartezjańskie współrzędne obu ciężarków będą równe

współrzędne(22.79)

Stąd moment bezwładności

moment bezwładności Ixx(22.80)

gdzie μ jest masą zredukowaną obu ciężarków. Podobnie moment zboczenia będzie równy

moment zboczenia(22.81)

Obliczmy teraz składowe momentu pędu

składowe momentu pędu(22.82)

i sam moment

wartość momentu pędu(22.83)

oraz jego kierunek, czyli kąt nachylenia β do osi x

kierunek momentu pędu(22.84)

czyli

związek między kątami(22.85)

Wektor momentu pędu nie jest równoległy do prędkości kątowej, tylko prostopadły do pręta. Dzieje się tak dlatego, że moment bezwładności względem podłużnej osi pręta znika i moment pędu nie może mieć składowej wzdłuż tej osi.