Analiza pola: gradient, dywergencja, rotacja – JR

Analiza pola: gradient, dywergencja, rotacja

Analiza pola: gradient, dywergencja, rotacja

4.1.1 Gradient.
4.1.2 Gradient jako gęstość strumienia.
4.2.1 Dywergencja.
4.2.2 Dywergencja jako gęstość strumienia.
4.3.1 Rotacja.
4.3.2 Rotacja a cyrkulacja.
4.3.3 Rotacja jako gęstość strumienia.
4.4 Twierdzenie Ostrogardskiego-Gaussa.
4.5 Twierdzenie Stokesa.
4.6 Operator nabla.

4.1.1 Gradient.

Celem wyprowadzenia zależności na wektor zwany gradientem funkcji przeprowadźmy następujące rozważania.

Spróbujmy najpierw zapisać wzór na przyrost funkcji pola skalarnego. (Należy zaznaczyć w tym miejscu, że będziemy od tej chwili stosować kartezjański układ współrzędnych.) Z matematycznego punktu widzenia przyrost funkcji pola jest sumą iloczynów jej pochodnych względem współrzędnych i różniczek współrzędnych:

przyrost funkcji pola skalarnego

Łatwo zauważyć, że powyższy przyrost można zapisać inaczej. A mianowicie jako iloczyn skalarny dwóch wektorów: jednego o składowych ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z i drugiego o składowych: dx, dy, dz.

przyrost funkcji pola skalarnego

Pierwszy z tych wektorów to właśnie gradient funkcji u:

gradient funkcji skalarnej

Drugi z tych wektorów to oczywiście dr.

A więc przyrost funkcji pola można przedstawić jako skalarny iloczyn gradientu funkcji pola i przemieszczenia:

przyrost funkcji pola skalarnego

Zgodnie z oznaczeniem wprowadzonym w podrozdziale 4.6 gradient skalara możemy przedstawić przy użyciu operatora nabla:

gradient zapisany za pomocą operatora nabla

 

Formuły związane z gradientem:

 

Gradient:

• stałej C:

gradient stałej

• sumy skalarów U i V:

gradient sumy

• iloczynu skalarów U i V:

gradient iloczynu

• funkcji złożonej V(U) :

gradient funkcji złożonej

• iloczynu stałej k i skalara V :

gradient iloczynu stałej i funkcji skalarnej

• iloczynu skalarnego wektorów A i B :

gradient iloczynu skalarnego dwóch wektorów

• we współrzędnych walcowych:

gradient we współrzędnych walcowych

• we współrzędnych sferycznych:

gradient we współrzędnych sferycznych

 

 

4.1.2 Gradient jako gęstość strumienia.

 

 

gradient jako gęstość strumienia ilustracja

W celu wyprowadzenia wzoru na gradient funkcji jako gęstości strumienia, przeanalizujmy pewną sytuację. w polu skalara u wybieramy dwie bliskie izopowierzchnie, odległe o h. Na jednej z nich wartość pola wynosi u a na drugiej u+du. Gradient pola jest wszędzie do nich prostopadły. Oczywiście:

przyrost funkcji pola skalarnego

W celu dalszej analizy sytuacji zbudujmy między izopowierzchniami mały walec, którego podstawy o polu ΔS leżą na obu izopowierzchniach, a pobocznica jest do nich w przybliżeniu prostopadła (tzn. równoległa do gradientu). Strumień pola przez całą powierzchnię walca jest równy:

strumień pola skalarnego

Jeżeli połączymy dwa powyższe wzory to otrzymamy:

strumień pola skalarnego

Należy zaznaczyć, że pominęliśmy równy zeru (ze względu na symetrię) strumień przez pobocznicę walca. ΔS oznacza wektor pola podstawy leżącej na izopowierzchni u+du tzn. ma kierunek i zwrot gradientu. Można więc napisać:

strumień pola skalarnego

gdzie ΔV jest objętościa walca, zatem:

strumień pola skalarnego

i stąd:

przybliżona wartość gradientu

Jest to zależność przyblizona, tym ściślejsza im mniejszy jest walec. W granicy zachodzi równość:

gradient wielkości skalarnej

czyli:

gradient wielkości skalarnej

 

 

4.2.1 Dywergencja.

 

 

W celu wyprowadzenia wzoru na dywergencję wektora w w kartezjańskim układzie współrzędnych przeprowadźmy następujące rozważania. Wektor pola w(r) możemy rozłożyć na składowe w kierunku odpowiednich osi. W układzie kartezjańskim mamy:

wektor rozpisany na składowe

Każda z tych składowych jest, podobnie jak wektor w funkcją współrzędnych:

współrzędne wektora

Utwórzmy pochodne składowych względem odpowiednich współrzędnych ∂wx/∂x, ∂wy/∂y, ∂wz/∂z

Ich sumę nazywamy dywergencją (rozbieżnością) wektora pola:

dywergencja wektora w układzie kartezjańskim

Dywergencja jest skalarem i zależy od położenia.

Zgodnie z oznaczeniem wprowadzonym w podrozdziale 4.6 dywergencję wektora możemy przedstawić przy użyciu operatora nabla:

dywergencja wektora zapisana za pomocą operatora nabla

 

Formuły związane z dywergencją:

 

Dywergencja:

• wektora stałego C:

dywergencja wektora stałego

• iloczynu stałej k i wektora A:

dywergencja iloczynu stałej i funkcji wektorowej

• sumy wektorów A i B :

dywergencja sumy wektorów

• iloczynu skalara V i wektora A :

dywergencja iloczynu skalara i wektora

• gradientu skalara V (równa się laplasjanowi funkcji V) :

dywergencja gradientu skalara

• rotacji wektora A :

dywergencja rotacji

• iloczynu wektorowego :

dywergencja iloczynu wektorowego

• we współrzędnych walcowych :

dywergencja we współrzędnych walcowych

• we współrzędnych sferycznych :

dywergencja we współrzędnych sferycznych

 

 

4.2.2 Dywergencja jako gęstość strumienia.

 

 

Strumieniem (skalarnym) wektora wychodzącego z powierzchni S z definicji nazywamy całkę ze skalarnego iloczynu wektora w i elementu powierzchni dS.(gdzie wektor w charakteryzuje natężenie pola). A więc:

strumień skalarny pola wektorowego

Strumień elementarny wyraża się związkiem różniczkowym:

elementarny strumień skalarny pola wektorowego

Powyższy wzór (zgodnie z definicją iloczynu skalarnego dwóch wektorów) można rozpisać następująco:

elementarny strumień skalarny pola wektorowego

W celu wyprowadzenia ogólnej definicji dywergencji niezależnej od wyboru układu współrzędnych zastosujmy powyższy wzór do sześcianu o objętości dV. Oczywiście:

element objętości

Rachunek przeprowadzamy w układzie kartezjańskim o osiach równoległych do krawędzi sześcianu.

dywergencja jako gęstość strumienia - ilustracja

Strumień z powierzchni prostopadłych do osi x jest sumą algebraiczną strumieni wychodzących ze ściany w punkcie x+dx i ściany w punkcie x. Tak więc:

Strumień z powierzchni prostopadłych do osi x

Pole powierzchni dSx jest polem ściany prostopadłej do osi x i wynosi:

dsx

Po uwzględnieniu wartości trygonometrycznych otrzymujemy:

Strumień z powierzchni prostopadłych do osi x

Z prostej analizy matematycznej wynika, że zależność w nawiasie kwadratowym możemy przedstawić jako iloczyn pochodnej i różniczki:

dwx

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

Strumień z powierzchni prostopadłych do osi x

Podobnie strumień z powierzchni prostopadłych do osi y wynosi:

Strumień z powierzchni prostopadłych do osi y

i prostopadłych do osi z:

Strumień z powierzchni prostopadłych do osi z

Całkowity strumień przez wszystkie powierzchnie jes dany wzorem:

całkowity strumień skalarny pola wektorowego przez powierzchnię zamkniętą

Łącząc powyższe cztery wzory otrzymujemy:

całkowity strumień skalarny pola wektorowego przez powierzchnię zamkniętą

Wyrażenie w nawiasie jest dywergencją wektora w. Stąd:

całkowity strumień skalarny pola wektorowego przez powierzchnię zamkniętą

Prowadzi to do ogólnej, niezależnej od układu współrzędnych definicji dywergencji:

ogólna definicja dywergencji

 

Dywergencja jest przestrzenną gęstością strumienia pola wektorowego.

 

 

 

4.3.1 Rotacja.

 

 

Składowymi gradientu były pochodne skalarnej funkcji pola względem poszczególnych współrzędnych. W skład dywergencji wchodzą pochodne składowych wektorowego pola w względem jednoimiennych współrzędnych, to znaczy składowej wx względem x, wy względem y, wz względem z.

W celu wyprowadzenia wzoru na rotację wektora w w kartezjańskim układzie współrzędnych, zróżniczkujmy teraz składowe wektora w względem pozostałych współrzędnych, czyli utwórzmy pochodne:

kombinacje pochodnych

Każda z tych pochodnych oznacza lokalną zmienność danej składowej przy przemieszczaniu się prostopadle do niej. Następnie przegrupujmy parami pochodne w których występują tylko dwie współrzędne, a więc x i y, y i z, z i x i utwórzmy ich różnice zaczynając od z, y i zachowując cykliczną kolejność.:

różnice kombinacji pochodnych

Każda taka różnica jest miarą różnicy zmienności dwóch składowych, to znaczy pokazuje o ile szybciej zmienia się pierwsza od drugiej przy przemieszczaniu się w kierunku różnoimiennych współrzędnych. Mnożąc je przez wersory pozostałych współrzędnych przypisujemy im odpowiednie kierunki i tworzymy z nich składowe wektora zwanego rotacją. Jest on sumą tych iloczynów:

rotacja wektora w w kartezjańskim układzie współrzędnych

Zgodnie z oznaczeniem wprowadzonym w podrozdziale 4.6 rotację wektora możemy przedstawić przy użyciu operatora nabla:

rotacja zapisana za pomocą operatora nabla

 

Formuły związane z rotacją:

 

Rotacja:

• wektora stałego C :

rotacja stałego wektora

• iloczynu stałej k i wektora A :

rotacja iloczynu stałej i wektora

• sumy wektorów A i B :

rotacja sumy wektorów

• iloczynu skalara V i wektora A :

rotacja iloczynu skalara i wektora

• iloczynu wektorowego wektorów A i B :

rotacja iloczynu wektorowego dwóch wektorów

• gradientu skalara V :

rotacja gradientu skalara

• rotacji wektora A :

rotacja rotacji wektora A

• we współrzędnych walcowych :

rotacja we współrzędnych walcowych

• we współrzędnych sferycznych :

rotacja we współrzędnych sferycznych

 

 

4.3.2 Rotacja a cyrkulacja.

 

 

Przemieszczając się w polu wektorowym obserwujemy zmiany wartości i kierunku pola w. Możemy je opisać mnożąc skalarnie w każdym punkcie wektor pola w przez wektor przemieszczenia elementarnego dr i całkując tak utworzone iloczyny wzdłuż całego toru. Jeżeli całkujemy po konturze zamkniętym, to otrzymujemy cyrkulację wektora w:

definicja cyrkulacji wektora w po konturze zamkniętym

Element cyrkulacji będzie równy:

element cyrkulacji

lub inaczej:

element cyrkulacji

W celu znalezienia zależności cyrkulacji z rotacją, obliczmy cyrkulację po konturze o bokach równych dx i dy prostopadłych do osi z.

rotacja a cyrkulacja - ilustracja

Zgodnie z powyższym wzorem cyrkulacja dKz będzie równa (wybieramy skrętność okrążania konturu Γ odwrotnie do ruchów wskazówek zegara):

dkz

a więc:

dkz

Wartości składowych wektora w miejscach x+dx i y+dy można wyrazić za pomocą wartości w miejscach x i y:

wx

wy

Po podstawieniu ich do poprzedniego wyrażenia otrzymujemy:

dkz

Po wymnożeniu nawiasów kwadratowych oraz uproszczeniu odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

dkz

Podobnie oblicza się cyrkulację po konturze prostopadłym do osi x:

dkx

dky

Oznaczając elementarne powierzchnie prostopadłe do osi x, y, z odpowiednio przez dSx, dSy, dSz:

elementarne powierzchnie

otrzymamy:

dkx dky dkz

Wyrażenia w nawiasach są składowymi rotacji wektora w.

Uwzględniając fakt, że w naszym przypadku:

dkn

możemy zapisać:

składowa wektora rotacji

lub inaczej:

składowa wektora rotacji

Tak więc:

 

Składowe rotacji są powierzchniowymi gęstościami odpowiednich cyrkulacji.

 

 

 

4.3.3 Rotacja jako gęstość strumienia.

 

 

Wektorowy strumień pola wektorowego można zdefiniować jako całkę powierzchniową za pomocą następującego wzoru:

Wektorowy strumień pola wektorowego

W celu wyprowadzenia ogólnej zależności pomiędzy rotacją wektora w a wektorowym strumieniem pola wektorowego przeprowadźmy następujące obliczenia. Obliczmy najpierw strumień:

element wektorowego strumienia

przez wszystkie ściany elementarnego sześcianu o objętości:

element objętości

rozpiętego w polu wektora w między współrzędnymi x i x+dx, y i y+dy, z i z+dz.

rotacja jako gęstość strumienia - ilustracja

Znajdziemy najpierw równoległą do osi x składową wcześniej wspomnianego iloczynu wektorowego:

równoległa do osi x składowa iloczynu wektorowego

Znaki + lub – określamy za pomocą reguły sruby prawoskrętnej.

Po uwzględnieniu prostej zależności trygonometrycznej oraz uporządkowaniu wyrazów otrzymujemy następujący wzór:

równoległa do osi x składowa iloczynu wektorowego

Biorąc pod uwagę, że :

dwy

oraz:

dwz

otrzymujemy:

równoległa do osi x składowa iloczynu wektorowego

czyli:

równoległa do osi x składowa iloczynu wektorowego

Podobnie znajdujemy składową równoległą do osi y:

równoległa do osi y składowa iloczynu wektorowego

i do osi z

równoległa do osi z składowa iloczynu wektorowego

Cały iloczyn wektorowy jest równy:

Wektorowy strumień pola wektorowego przez powierzchnię zamkniętą

Łatwo zauważyć, że wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest wziętą ze znakiem minus rotacją wektora w. Zatem:

ogólna definicja rotacji wektora w



Rotacja jest wziętą ze znakiem minus przestrzenną gęstością wektorowego strumienia wektora w.

 

 

 

 

4.4 Twierdzenie Ostrogardskiego-Gaussa.

 

 

Dywergencję pola wektora w określiliśmy jako lokalną gęstość objętościową jego strumienia (skalarnego) wychodzącego z elementu objętości. Chcąc znaleźć całkowity strumień wychodzący z obszaru skończonego, musimy scałkować strumień elementarny po całej powierzchni zamykającej obszar.

zatem mamy:

wyprowadzenie twierdzenia Ostrogardskiego-Gaussa

i po scałkowaniu:

Twierdzenie Ostrogardskiego-Gaussa

Powyższa równość jest właśnie twierdzeniem Ostrogardskiego-Gaussa.

 

 

Całkowity strumień (skalarny) wektora wychodzący przez powierzchnię zamkniętą, otaczającą jakiś obszar w polu wektorowym , jest równy rozciągniętej na całą objętość obszaru całce z dywergencji tego wektora.

 

 

Twierdzenie Ostrogardskiego-Gaussa - ilustracja

 

 

4.5 Twierdzenie Stokesa.

 

 

Rotację określiliśmy jako powierzchniową gęstość cyrkulacji:

definicja składowej wektora rotacji

czyli:

elementarna cyrkulacja

Zgodnie z zależnością trygonometryczną składowa prostopadła rotacji jest równa:

składowa prostopadła wektora rotacji

Tak więc:

wektorowy zapis elementarnej cyrkulacji

Po scałkowaniu powyższego wzoru otrzymujemy wzór na cyrkulację :

cyrkulacja

gdzie kąt α jest kątem pomiędzy wektorami:

kąt alfa

Pamiętamy z definicji cyrkulacji, że:

definicja cyrkulacji

gdzie S jest dowolną powierzchnią której brzegiem jest krzywa Γ
.

Przyrównując do siebie dwa powyższe wzory otrzymujemy związek zwany twierdzeniem Stokesa:

twierdzenie Stokesa

 

 

Cyrkulacja wektora po zamkniętym konturze jest równa strumieniowi jego rotacji przez powierzchnię rozpiętą na tym konturze.

 

 

Takich powierzchni może być oczywiście nieskończenie wiele. Przykładową powierzchnię oraz kontur przedstawia poniższy rysunek:

Twierdzenie Stokesa - ilustracja

 

 

4.6 Operator nabla

 

 

Zapis i rachunki przeprowadzane na gradiencie, dywergencji i rotacji można znacznie uprościć wprowadzając wektor nabla ∇, zdefiniowany wzorem:

operator nabla

Nabla jest operatorem , tzn. symbolem, który nabiera sensu dopiero po oddziałaniu na jakąś wielkość czy funkcję.

Na przykład:

Jeśli podziałamy operatorem nabla na jakąś skalarną wielkość u, to otrzymamy wektor. Jak łatwo zauważyć będzie to gradient wielkości u:

gradient u

Iloczyn skalarny operatora nabla (który jak pamiętamy jest „wektorem”) i innego wektora w jest dywergencją:

dywergencja

Natomiast iloczyn wektorowy operatora nabla oraz innego wektora jest rotacją:

rotacja

Gradient, dywergencja i rotacja są przestrzennymi pochodnymi pola. Za pomocą operatora nabla możemy łatwo znaleźć drugie pochodne, wystarczy znać reguły podwójnego mnożenia wektorów. Oto przykłady drugich pochodnych pola:

drugie pochodne wektorowe

Kwadrat nabli w kartezjańskim układzie współrzędnych ma następującą postać:

laplasjan

i nosi nazwę laplasjanu. W zastosowaniu do skalara laplasjan tworzy pole skalarne. W zastosowaniu do wektora np. w laplasjan tworzy pole wektorowe.

Teraz, gdy już znamy zapis pochodnych wykorzystując do tego operator nabla, możemy zapisać twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa oraz twierdzenie Stokesa w „bardziej eleganckiej” postaci:

twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

twierdzenie Stokesa